Teorema de Pitágaoras

Introducción

El Teorema de Pitágoras es uno de los resultados más fundamentales en la geometría euclidiana. Establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados (los catetos). Matemáticamente, se expresa como:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

donde $c$ es la longitud de la hipotenusa y $a$ y $b$ son las longitudes de los catetos.

Demostración

Existen varias formas de demostrar el Teorema de Pitágoras. A continuación, se presenta una demostración clásica utilizando áreas. Consideremos un triángulo rectángulo con catetos de longitudes $a$ y $b$, y hipotenusa de longitud $c$. Construimos un cuadrado de lado $a + b$ y dentro de este cuadrado, colocamos cuatro copias del triángulo rectángulo, de manera que formen un cuadrado más pequeño en el centro con lado $c$. El área del cuadrado grande es:

$$Área_{grande} = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

El área del cuadrado pequeño es:

$$Área_{pequeño} = c^2$$

El área total del cuadrado grande también puede expresarse como la suma del área del cuadrado pequeño y el área de los cuatro triángulos rectángulos:

$$Área_{grande} = Área_{pequeño} + 4 \cdot Área$$ $$Área_{grande} = c^2 + 4 \cdot \left(\frac{1}{2}ab\right) = c^2 + 2ab$$

Igualando las dos expresiones para el área del cuadrado grande, tenemos:

$$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$$

Restando $2ab$ de ambos lados, obtenemos:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Esto completa la demostración del Teorema de Pitágoras.