Concepto de Métrica en Matemáticas

¿Qué es una métrica?

En matemáticas, una métrica es una función que define una noción de distancia entre elementos de un conjunto. Formalmente:

Una métrica sobre un conjunto $X$ es una función:

$$d: X \times X \to \mathbb{R}$$

que satisface las siguientes propiedades para todos $x, y, z \in X$:

1. No negatividad:
   $d(x, y) \geq 0$

2. Identidad de los indiscernibles:
   $d(x, y) = 0 \iff x = y$

3. Simetría:
   $d(x, y) = d(y, x)$

4. Desigualdad triangular:
   $d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$

Estas condiciones aseguran que la función $d$ se comporte como una distancia "razonable".

Ejemplo clásico: Métrica euclidiana

En $\mathbb{R}^n$, la métrica euclidiana está dada por:

$$d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \dots + (x_n - y_n)^2}$$

Esta es la distancia habitual en el espacio tridimensional que usamos en la vida diaria.

Otros ejemplos de métricas

1. Métrica del valor absoluto en $\mathbb{R}$:

$$d(x, y) = |x - y|$$

2. Métrica discreta:

$$d(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{si } x = y \\ 1 & \text{si } x \neq y \end{cases}$$

Esta métrica considera que todos los puntos son "igualmente lejanos" entre sí, excepto si son iguales.

¿Por qué es importante una métrica?

Tener una métrica permite definir conceptos fundamentales como:

• Convergencia de sucesiones:
  Una sucesión $(x_n)$ converge a $x$ si $d(x_n, x) \to 0$.

• Continuidad de funciones

• Conjuntos abiertos y cerrados

• Compacidad y conexidad

Todo esto forma la base de la topología inducida por una métrica.

Conclusión

El concepto de métrica es esencial en muchas ramas de las matemáticas. Permite formalizar la idea de "distancia" y construir estructuras como los espacios métricos, que son la base para el análisis moderno y la topología.