Distribución Normal y Binomial: Relación y Aproximaciones

Distribución Binomial

La distribución binomial modela la cantidad de éxitos en $n$ ensayos independientes, donde cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito (con probabilidad $p$) o fracaso (con probabilidad $1 - p$).

Se denota como:

$$X \sim \text{Bin}(n, p)$$

La función de probabilidad es:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \dots, n$$

Propiedades:

• Media: $\mu = np$
• Varianza: $\sigma^2 = np(1 - p)$

Distribución Normal

La distribución normal (o distribución gaussiana) es una distribución continua que tiene forma de campana simétrica. Se denota como:

$$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$$

Su función de densidad es:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Propiedades:

• Simétrica alrededor de la media $\mu$
• La probabilidad se concentra en torno a $\mu$
• Es la base de muchos modelos estadísticos

Relación entre Binomial y Normal

Teorema Central del Límite (TCL)

El Teorema Central del Límite establece que si sumamos muchas variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) con media y varianza finitas, su distribución tiende a ser normal, sin importar la distribución original.

En el caso de la binomial:

Si $X \sim \text{Bin}(n, p)$ y $n$ es suficientemente grande, entonces:

$$\frac{X - np}{\sqrt{np(1 - p)}} \to \mathcal{N}(0, 1)$$

Es decir, una binomial puede aproximarse por una normal cuando $n$ es grande.

Aproximación normal a la binomial

Si se cumplen las condiciones:

• $n$ es grande
• $p$ no es demasiado cercano a 0 o 1
  (una regla práctica: $np \geq 5$ y $n(1 - p) \geq 5$)

Entonces:

$$X \sim \text{Bin}(n, p) \approx \mathcal{N}(np, np(1 - p))$$

⚠️ Corrección por continuidad

Dado que la binomial es discreta y la normal es continua, se suele aplicar una corrección por continuidad al usar la normal para aproximar la binomial.

Por ejemplo, para aproximar $P(X \leq k)$:

$$P(X \leq k) \approx P\left(Y \leq k + 0.5\right)$$

donde $Y \sim \mathcal{N}(np, np(1 - p))$

Ejemplo

Supón que $X \sim \text{Bin}(n = 100, p = 0.4)$.
Entonces:

• $\mu = np = 40$
• $\sigma = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{24} \approx 4.9$

Podemos aproximar $P(X \leq 45)$ con:

$$P\left(Y \leq 45.5\right), \quad Y \sim \mathcal{N}(40, 24)$$

Calculamos el valor estandarizado:

$$Z = \frac{45.5 - 40}{\sqrt{24}} \approx \frac{5.5}{4.9} \approx 1.12$$

Buscando en la tabla de la normal estándar:

$$P(Z \leq 1.12) \approx 0.8686$$

Conclusión

• La binomial describe conteos discretos de éxitos.
• La normal describe variables continuas con comportamiento simétrico.
• A través del Teorema Central del Límite, la binomial se aproxima a la normal cuando $n$ es grande.
• La aproximación normal es útil para calcular probabilidades cuando usar la fórmula binomial directamente es computacionalmente costoso.