Análisis 3 - Tema 3

Análisis III
Matemáticas
Medida de Lebesgue
2026-01-12
68 min de lectura

Cubos y volúmenes en RN\mathbb{R}^N

Intervalo degenerado. Definición

Llamamos intervalo degenerado a cualquier intervalo vacío o unitario.

✏️Ejemplo

Algunos intervalos degenerados son:

{a}=[a,a] o ∅=(2,1)\begin{align*} \{a\} = [a, a] \quad \text{ o } \quad \emptyset = (2, 1) \end{align*}

Cubo degenerado de RN\mathbb{R}^N. Definición

Sea N∈NN \in \mathbb{N}, llamamos cubo degenerado de RN\mathbb{R}^N a cualquier cubo:

C=I1×I2×⋯×IN\begin{align*} C = I_1 \times I_2 \times \dots \times I_N \end{align*}

donde cada IiI_i es un intervalo abierto de R\mathbb{R} y alguno de sus intervalos es degenerado. En general, llamamos cubo de RN\mathbb{R}^N a cualquier producto cartesiano:

I1×⋯×IN\begin{align*} I_1 \times \dots \times I_N \end{align*}

donde cada IiI_i es un intervalo.

Volumen de un cubo. Definición

Dado un cubo CC de RN\mathbb{R}^N con N∈NN \in \mathbb{N}, llamamos volumen de CC al número:

vN(C):−{0 si C es degenerado∏i=1N∣bi−ai∣si C no es degenerado, C=I1×⋯×IN con Ij invervalo deextr. izq. aj y drch. bj tq −∞≤aj<bj≤∞\begin{align*} v_N(C) \coloneq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } C \text{ es degenerado} \\[2ex] \displaystyle \prod_{i = 1}^N |b_i - a_i| & \begin{array}{l} \text{si } C \text{ no es degenerado, } C = I_1 \times \dots \times I_N \text{ con } I_j \text{ invervalo de} \\ \text{extr. izq. } a_j \text{ y drch. } b_j \text{ tq } - \infty \leq a_j < b_j \leq \infty \end{array} \end{array} \right.\\ \end{align*}

💡Nota

Al final, tenemos que si algún intervalo es degenerado, el ``espesor'' del cubo en alguna dimensión será 0, por lo que su volumen nn-dimensional sería también cero.

Para cubos no degenerados, esta idea de volumen no deja de ser la generalización de lo que trabajamos en 3 dimensiones, por ejemplo, con un paralelepípedo:

C=[0,1]×[0,2]×[0,3]  ⟹  vN(C)=∣1−0∣⋅∣2−0∣⋅∣3−0∣=6\begin{align*} C = [0, 1] \times [0, 2] \times [0, 3] \implies v_N(C) = |1 - 0| \cdot |2 - 0| \cdot |3 - 0| = 6 \end{align*}

Medida exterior. Definición

Sea A⊆RNA \subseteq \mathbb{R}^N se define su medida exterior como el número:

μN∗(A):−inf⁡{∑i=1∞vN(Ii) ⁣:{Ii}i∈N coleccioˊn de cubos abiertos tq A⊆⋃i∈NIi}∈[0,∞]\begin{align*} \mu_N^*(A) \coloneq \inf \left\{\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \colon \{I_i\}_{i \in \mathbb{N}}\text{ colección de cubos abiertos tq } A \subseteq \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}I_i\right\} \in [0, \infty] \end{align*}

💡Advertencia

μN∗\mu_N^* no es una medida de verdad ya que carece de σ\sigma-aditividad.

💡Nota

La idea intuitiva es cubrir AA con una colección numerable de cubos abiertos, calcular su suma de volúmenes y tomar la menor de todas las sumas posibles considerando todos los posibles recubrimientos de AA con cubos abiertos.

Técnicas fundamentales de μN∗\mu_N^*

Las dos propiedades básicas que caracterizan la medida exterior son:

  • Cota superior por recubrimientos: Partiendo de la definición:
μN∗(A)≤∑i=1∞vN(Ii)∀{Ii}i∈N coleccioˊn de cubos abiertos tq A⊆⋃i=1∞Ii\begin{align*} \mu_N^*(A) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \qquad \forall \{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} \text{ colección de cubos abiertos tq } A \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i\\ \end{align*}
  • Propiedad de aproximación (ε\varepsilon-cercanía): para todo ε>0\varepsilon > 0 existe {Ii}i∈N\{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} recubrimiento con cubos abiertos de AA tal que:
μN∗(A)+ε>∑i=1∞vN(Ii)\begin{align*} \mu_N^*(A) + \varepsilon > \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \end{align*}

Esto es, podemos aproximar la medida exterior tanto como queramos desde arriba.

💡Obsevación

Si μN∗(A)<∞\mu_N^*(A) < \infty esto se interpreta gráficamente como:

TikZ Graph

✏️Ejemplo

Se cumple que μN∗(∅)=0\mu_N^*(\emptyset ) = 0 ya que:

Podemos recubrir ∅\emptyset con el propio conjunto vacío:

∅⊆∅∪∅∪…\begin{align*} \emptyset \subseteq \emptyset \cup \emptyset \cup \dots \end{align*}

Como el volumen de ∅\emptyset es 0 por definición de volumen de cubo degenerado entonces:

0≤μN∗(∅)≤0+0+⋯=0\begin{align*} 0 \leq \mu_N^*(\emptyset ) \leq 0 + 0 + \dots = 0 \end{align*}

Y por el criterio del Sandwich se cumple que μN∗(∅)=0\mu_N^*(\emptyset ) = 0

✏️Ejemplo

Sea CC es cubo degenerado acotado entonces μN∗(C)=0\mu_N^*(C) = 0 ya que:

Se dan dos posibles casos:

  • Si C=∅C = \emptyset entonces μN∗(C)=0\mu_N^*(C) = 0 (ver ejemplo anterior)
  • Si C≠∅C \neq \emptyset, supongamos C=I1×I2×⋯×INC = I_1 \times I_2 \times \dots \times I_N donde cada IjI_j es un intervalo acotado y al menos unos de ellos es unitario. Supongamos I1={a}I_1 = \{a\} (la demostración es análoga si es otro). Para cualquier ε>0\varepsilon > 0 si IkI_k es un intervalo de extremos aka_k y bkb_k entonces:
C⊆Cε:−(a−ε,a+ε)×(a2−ε,b2+ε)×⋯×(aN−ε,bN+ε)\begin{align*} C \subseteq C_\varepsilon \coloneq (a - \varepsilon, a + \varepsilon) \times (a_2 - \varepsilon, b_2 + \varepsilon) \times \dots \times (a_N - \varepsilon, b_N + \varepsilon) \end{align*}

Y como esto es válido ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 tenemos que:

μN∗(C)≤vN(Cε)=2ε⋅(b2−a2+2ε)⋅⋯⋅(bN−aN+2ε)\begin{align*} \mu_N^*(C) & \leq v_N(C_{\varepsilon}) = 2 \varepsilon \cdot (b_2 - a_2 + 2\varepsilon) \cdot \dots \cdot (b_N - a_N + 2\varepsilon) \end{align*}

Por lo que si hacemos ε→0\varepsilon \to 0 entonces:

0≤μN∗(C)≤0⋅(b2−a2)⏟∈R⋅⋯⋅(bN−aN)⏟∈R=0\begin{align*} 0 \leq \mu_N^*(C) \leq 0 \cdot \underbrace{(b_2 - a_2)}_{\in \mathbb{R}} \cdot \dots \cdot \underbrace{(b_N - a_N)}_{\in \mathbb{R}} = 0 \end{align*}

Que se cumple ya que CC es acotado y, por lo tanto, bj−aj<∞b_j - a_j < \infty para todo jj.

Ahora, aplicando el criterio del sandwich, tenemos que:

μN∗(C)=0\begin{align*} \mu_N^*(C) = 0 \end{align*}

✏️Ejemplo

Sea A⊆RNA \subseteq \mathbb{R}^N numerable entonces μN∗(A)=0\mu_N^*(A) = 0 ya que:

Fijamos ε>0\varepsilon > 0 cualquiera con:

ε=ε2+ε4+ε8+⋯=∑i=1∞ε2i\begin{align*} \varepsilon = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{8} + \dots = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^i} \end{align*}

Como AA numerable entonces A={an:n∈N}A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\} y por cada ana_n tomamos un cubo abierto InI_n tal que:

an∈In y vN(In)=ε2n\begin{align*} a_n \in I_n \quad \text{ y } \quad v_N(I_n) = \frac{\varepsilon}{2^n} \end{align*}

Entonces:

A⊆⋃n∈NIn  ⟹  0≤μN∗(A)≤∑n=1∞vN(In)=∑i=1∞ε2i=ε\begin{align*} A \subseteq \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} I_n \implies 0 \leq \mu_N^*(A) \leq \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} v_N(I_n) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^i} = \varepsilon \end{align*}

Y como ε>0\varepsilon > 0 es arbitrario, podemos hacer que ε→0\varepsilon \to 0, por el criterio del sándwich:

μN∗(A)=0\begin{align*} \mu_N^*(A) = 0 \end{align*}

Propiedades de μN∗\mu_N^*. Proposición

Sea N∈NN \in \mathbb{N} entonces μN∗\mu_N^* cumple las siguientes propiedades:

  1. Monotonía: Sea A⊆B⊆RNA \subseteq B \subseteq \mathbb{R}^N entonces se cumple:
μN∗(A)≤μN∗(B)\begin{align*} \mu_N^*(A) \leq \mu_N^*(B) \end{align*}
  1. Subaditividad numerable: Sea {Ai}i∈N⊆P(RN)\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R}^N) entonces se cumple:
μN∗(⋃i∈NAi)≤∑i=1∞μN∗(Ai)\begin{align*} \mu_N^*\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i\right) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(A_i) \end{align*}
  1. ∀C\forall C cubo compacto de RN\mathbb{R}^N se cumple:
μN∗(C)=vN(C)=vN(C∘)=μN∗(C∘)\begin{align*} \mu_N^*(C) = v_N(C) = v_N(C^\circ) = \mu_N^*(C^\circ) \end{align*}

📐Demostración

  1. Sea A⊆B⊆RNA \subseteq B \subseteq \mathbb{R}^N, definimos los conjuntos:
SA={∑i=1∞vN(Ii) ⁣:{Ii}i∈N cubos abiertos, A⊆⋃i∈NIi}SB={∑i=1∞vN(Ii) ⁣:{Ii}i∈N cubos abiertos, B⊆⋃i∈NIi}\begin{align*} S_A & = \left\{\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \colon \{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} \text{ cubos abiertos, } A \subseteq \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} I_i\right\}\\[2ex] S_B & = \left\{\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \colon \{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} \text{ cubos abiertos, } B \subseteq \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} I_i\right\} \end{align*}
  • Ver que SB⊆SAS_B \subseteq S_A. Sea s∈SBs \in S_B, existe {Ii}i∈N\{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} recubrimiento de BB con cubos abiertos tal que:
s=∑i=1∞vN(Ii) y B⊆⋃i=1∞Ii\begin{align*} s = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \quad \text{ y } \quad B \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i \end{align*}

Como A⊆BA \subseteq B entonces:

A⊆B⊆⋃i=1∞Ii  ⟹  {Ii}i∈N recubrimiento de A\begin{align*} A \subseteq B \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i \implies \{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} \text{ recubrimiento de } A \end{align*}

Por lo tanto s∈SAs \in S_A y así SB⊆SAS_B \subseteq S_A.

  • Ver que μN∗(A)≤μN∗(B)\mu_N^*(A) \leq \mu_N^*(B). Por definición de medida exterior y relación de ínfimos de conjuntos:
μN∗(A)=inf⁡SA≤inf⁡SB=μN∗(B)\begin{align*} \mu_N^*(A) = \inf S_A \leq \inf S_B = \mu_N^*(B)\\ \end{align*}
  1. Se consideran dos posibles casos:
  • Si ∑n=1∞μN∗(An)=∞\sum_{n = 1}^{\infty} \mu_N^*(A_n) = \infty entonces la desigualdad se cumple trivialmente.
  • Si ∑n=1∞μN∗(An)<∞\sum_{n = 1}^{\infty} \mu_N^*(A_n) < \infty entonces fijamos ε>0\varepsilon > 0. Para cada i∈Ni \in \mathbb{N}, aplicando la técnica de ε\varepsilon-cercanía, existe recubrimiento {Ii,j}j∈N\{I_{i,j}\}_{j \in \mathbb{N}} con cubos abiertos de AiA_i tal que:
∑j=1∞vN(Ii,j)<μN∗(Ai)+ε2i y Ai⊆⋃j=1∞Ii,j\begin{align*} \displaystyle \sum_{j = 1}^{\infty} v_N(I_{i,j}) < \mu_N^*(A_i) + \frac{\varepsilon}{2^i} \quad \text{ y } \quad A_i \subseteq \displaystyle \bigcup_{j = 1}^{\infty} I_{i,j} \end{align*}

Como la colección {Ii,j:i,j∈N}\{I_{i,j} : i, j \in \mathbb{N}\} es numerable y cubre ⋃i∈NAi\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i ya que:

⋃i=1∞Ai⊆⋃i=1∞⋃j=1∞Ii,j\begin{align*} \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} \displaystyle \bigcup_{j = 1}^{\infty} I_{i,j} \end{align*}

Entonces, por definición de medida exterior:

μN∗(⋃i=1∞Ai)≤∑i∈Nj∈NvN(Ii,j)=∑i=1∞∑j=1∞vN(Ii,j)\begin{align*} \mu_N^*\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i\right) \leq \displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N\\j \in \mathbb{N}}} v_N(I_{i,j}) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \displaystyle \sum_{j = 1}^{\infty} v_N(I_{i,j}) \end{align*}

Y reordenando la suma doble (ya que los términos son no negativos):

∑i=1∞∑j=1∞vN(Ii,j)=∑i=1∞(∑j=1∞vN(Ii,j))<∑i=1∞(μN∗(Ai)+ε2i)==∑i=1∞μN∗(Ai)+∑i=1∞ε2i=(∑i=1∞μN∗(Ai))+ε\begin{align*} \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \displaystyle \sum_{j = 1}^{\infty} v_N(I_{i,j}) & = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty}\left(\displaystyle \sum_{j = 1}^{\infty}v_N(I_{i,j})\right) < \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \left(\mu_N^*(A_i) + \frac{\varepsilon}{2^i}\right) =\\[2ex] & = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(A_i) + \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^i} = \left(\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(A_i)\right) + \varepsilon \end{align*}

Así, como ε>0\varepsilon > 0 es arbitrario, si hacemos que ε→0\varepsilon \to 0 entonces:

0≤μN∗(⋃i=1∞Ai)≤(∑i=1∞μN∗(Ai))+ε⏟→0  ⟹  μN∗(⋃i=1∞Ai)≤∑i=1∞μN∗(Ai)\begin{align*} 0 \leq \mu_N^*\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i\right) \leq \left(\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(A_i)\right) \underbrace{+ \varepsilon}_{\to 0} \implies \mu_N^*\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} A_i\right) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(A_i) \end{align*}
  1. Para simplificar, la demostración será en R1\mathbb{R}^1 para el cubo C=[a,b]⊆RC = [a, b] \subseteq \mathbb{R} con −∞<a<b<∞- \infty < a < b < \infty. La demostración se divide en cuatro desigualdades:
  • Igualdad de volúmenes: v1(C∘)=v1(C)v_1(C^{\circ}) = v_1(C). Por definición de volumen:
v1(C∘)=v1((a,b))=b−a=v1([a,b])=v1(C)\begin{align*} v_1(C^\circ) = v_1((a, b)) = b - a = v_1([a, b]) = v_1(C) \end{align*}
  • Igualdad de medidas exteriores: μ1∗(C∘)=μ1∗(C)\mu_1^*(C^\circ) = \mu_1^*(C). Como (a,b)⊆[a,b](a, b) \subseteq [a, b]:
μ1∗((a,b)⏞C∘)≤monotonıˊaμ1∗([a,b]⏞C)=μ1∗((a,b)∪{a}∪{b})≤subaditiv.≤μ1∗((a,b))+μ1∗({a})⏟=0+μ1∗({b})⏟=0=μ1∗((a,b)⏟C∘)\begin{align*} \mu_1^*(\overbrace{(a, b)}^{C^\circ}) \overset{\text{\tiny monotonía}}{\leq} \mu_1^*(\overbrace{[a, b]}^{C}) & = \mu_1^*\left((a, b) \cup \{a\} \cup \{b\}\right) \overset{\text{\tiny subaditiv.}}{\leq}\\[2ex] & \leq \mu_1^*((a, b)) + \underbrace{\mu_1^*(\{a\})}_{= 0} + \underbrace{\mu_1^*(\{b\})}_{= 0} = \mu_1^*(\underbrace{(a, b)}_{C^\circ}) \end{align*}

Por tanto, aplicando el criterio del sandwich se tiene el resultado.

  • Cota superior μ1∗(C)≤v1\mu_1^*(C) \leq v_1. Sea ε>0\varepsilon > 0 cualquiera, entonces:
Iε=(a−ε,b+ε)⊇[a,b]=C\begin{align*} I_\varepsilon = (a - \varepsilon, b + \varepsilon) \supseteq [a, b] = C \end{align*}

Por tanto, por definición de medida exterior:

μ1∗(C)≤v1(Iε)=b−a+2ε∀ε>0\begin{align*} \mu_1^*(C) \leq v_1(I_\varepsilon) = b - a + 2\varepsilon \quad \forall \varepsilon > 0 \end{align*}

Haciendo ε→0\varepsilon \to 0 se tiene:

μ1∗(C)≤v1(C)=b−a\begin{align*} \mu_1^*(C) \leq v_1(C) = b - a \end{align*}
  • Cota inferior v1(C)≤μ1∗(C)v_1(C) \leq \mu_1^*(C). Sea ε>0\varepsilon > 0 cualquiera, por definición de medida exterior sabemos que ∃{Ii}i∈N\exists \{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} colección numerable de cubos abiertos tal que:
C⊆⋃i=1∞Ii y μ1∗(C)+ε>∑i=1∞v1(Ii)\begin{align*} C \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i \quad \text{ y } \quad \mu_1^*(C) + \varepsilon > \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_1(I_i) \end{align*}

Como CC compacto, existe subrecubrimiento finito, i.e., ∃n∈N\exists n \in \mathbb{N} tal que:

C⊆⋃i=1nIi\begin{align*} C \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} I_i \end{align*}

Cada IkI_k es un intervalo abierto de la forma:

Ik=(ak,bk) con −∞≤ak<bk≤∞\begin{align*} I_k = (a_k, b_k) \quad \text{ con } - \infty \leq a_k < b_k \leq \infty \end{align*}

Podemos suponer que ningún IkI_k está contenido dentro de otro, ya que en ese caso lo podríamos eliminar del recubrimiento sin perder la propiedad de recubrimiento. Además, podemos ordenarlos de forma que sus extremos izquierdos estén ordenados crecientemente:

a1<a2<⋯<an\begin{align*} a_1 < a_2 < \dots < a_n \end{align*}

Así, podemos notar que para que el recubrimiento cubra todo el intervalo [a,b][a, b] se deben cumplir las siguientes condiciones:

Espacio de medida de Lebesgue (RN,Mn,μN)(\mathbb{R}^N, \mathcal{M}_n, \mu_N)

Conjunto medible de Lebesgue. Definición

Sea E⊆RNE \subseteq \mathbb{R}^N decimos que es medible de Lebesgue si ∀C\forall C cubo abierto acotado se cumple:

vN(C)=μN∗(C∩E)+μN∗(C∩EC)\begin{align*} v_N(C) = \mu_N^*(C \cap E) + \mu_N^*(C \cap E^C) \end{align*}

O equivalentemente, como vN(C)=μN∗(C)v_N(C) = \mu_N^*(C) y μN∗\mu_N^* es subaditiva:

vN(C)=μN∗(C)≤μN∗(C∩E)+μN∗(C∩EC)\begin{align*} v_N(C) & = \mu_N^*(C) \leq \mu_N^*(C \cap E) + \mu_N^*(C \cap E^C) \end{align*}

💡Nota

Al conjunto de todos los subconjuntos medibles de Lebesgue en RN\mathbb{R}^N lo denotamos por MN\mathcal{M}_N.

Propiedades de MN\mathcal{M}_N. Proposición

Sea E⊆RNE \subseteq \mathbb{R}^N entonces:

  1. Si μN∗(E)=0\mu_N^*(E) = 0 entonces E∈MNE \in \mathcal{M}_N, en particular, ∅∈MN\emptyset \in \mathcal{M}_N
  2. Si E∈MNE \in \mathcal{M}_N entonces EC∈MNE^C \in \mathcal{M}_N
  3. Todo semiespacio abierto de RN\mathbb{R}^N está en MN\mathcal{M}_N, i.e., S=I1×⋯×IN⊆RNS = I_1 \times \dots \times I_N \subseteq \mathbb{R}^N tal que:
∃j∈{1,…,N} con {Ik=(−∞,∞) si k≠jIj=(−∞,b) oˊ Ij=(a,∞) con −∞<a<b<∞\begin{align*} \exists j \in \{1, \dots, N\} \text{ con } \left\{ \begin{array}{ll} I_k = ( - \infty, \infty) & \text{ si } k \neq j\\[1ex] I_j = ( - \infty, b) \text{ ó } I_j = (a, \infty) & \text{ con } - \infty < a < b < \infty \end{array} \right. \end{align*}

📐Demostración

  1. Sea E⊆RNE \subseteq \mathbb{R}^N con μN∗(E)=0\mu_N^*(E) = 0 y CC cubo abierto acotado cualquiera. Tenemos:
vN(C)≤μN∗(C∩E)⏟=monot.0+μN∗(C∩EC)≤μN∗(C∩EC)≤monot.μN∗(C)=vN(C)\begin{align*} v_N(C) \leq \underbrace{\mu_N^*(C \cap E)}_{\overset{\text{\tiny monot.}}{=} 0} + \mu_N^*\left(C \cap E^C\right) \leq \mu_N^*\left(C \cap E^C\right) \overset{\text{\tiny monot.}}{\leq} \mu_N^*(C) = v_N(C) \end{align*}

Por lo tanto, por el criterio del sándwich:

vN(C)=μN∗(C∩E)+μN∗(C∩EC)  ⟹  E∈MN\begin{align*} v_N(C) = \mu_N^*(C \cap E) + \mu_N^*(C \cap E^C) \implies E \in \mathcal{M}_N \end{align*}
  1. Sea E∈MNE \in \mathcal{M}_N y CC cubo abierto acotado cualquiera entonces:
vN(C)=μN∗(C∩E)+μN∗(C∩EC)=μN∗(C∩EC)+μN∗(C∩(EC)C)\begin{align*} v_N(C) = \mu_N^*(C \cap E) + \mu_N^*(C \cap E^C) = \mu_N^*(C \cap E^C) + \mu_N^*(C \cap (E^C)^C) \end{align*}

Por lo tanto EC∈MNE^C \in \mathcal{M}_N. 3. Sin pérdida de generalidad, basta probarlo para:

H=(a,∞)×R×…N−1×R con −∞<a<∞\begin{align*} H = (a, \infty) \times \mathbb{R} \times \overset{N - 1}{\dots } \times \mathbb{R} \quad \text{ con } - \infty < a < \infty \end{align*}

Los casos {(−∞,a)×R×⋯×RH=J1×⋯×JN con {Jj=(−∞,a) oˊ (a,∞)Ji=R si i≠j\left\{ \begin{array}{l} ( - \infty, a) \times \mathbb{R} \times\dots \times \mathbb{R}\\[2ex] H = J_1 \times\dots \times J_N \text{ con } \left\{ \begin{array}{l} J_j = ( - \infty, a) \text{ ó } (a, \infty)\\ J_i = \mathbb{R} \text{ si } i \neq j \end{array} \right. \end{array} \right. son análogos.

Sea C=(a1,b1)⏞J1×⋯×(aN,bN)⏞JNC = \overbrace{(a_1, b_1)}^{J_1} \times \dots \times \overbrace{(a_N, b_N)}^{J_N} un cubo abierto acotado cualquiera. Así:

C∩H={C si a≤a1(a,b1)×J2×⋯×JN si a1<a<b1∅ si b1≤aC∩HC={∅ si a≤a1(a1,a]×J2×⋯×JN si a1<a<b1C si b1≤a\begin{align*} C \cap H & = \left\{ \begin{array}{ll} C & \text{ si } a \leq a_1 \\[1ex] (a, b_1) \times J_2 \times \dots \times J_N & \text{ si } a_1 < a < b_1 \\[1ex] \emptyset & \text{ si } b_1 \leq a \end{array} \right. \\[3ex] C \cap H^C & = \left\{ \begin{array}{ll} \emptyset & \text{ si } a \leq a_1 \\[1ex] (a_1, a] \times J_2 \times \dots \times J_N & \text{ si } a_1 < a < b_1 \\[1ex] C & \text{ si } b_1 \leq a \end{array} \right. \end{align*}

Analicemos los 3 casos según el valor de aa:

  • Si a≤a1a \leq a_1 entonces C∩H=CC \cap H = C y C∩HC=∅C \cap H^C = \emptyset por lo que:
μN∗(C∩H)+μN∗(C∩HC)=vN(C)+vN(∅)=μN∗(C)  ⟹  H∈MN\begin{align*} \mu_N^*(C \cap H) + \mu_N^*(C \cap H^C) = v_N(C) + v_N(\emptyset ) = \mu_N^*(C) \implies H \in \mathcal{M}_N \end{align*}
  • Si a1<a<b1a_1 < a < b_1 entonces se tiene:
C∩H=(a,b1)×J2×⋯×JNC∩HC=(a1,a]×J2×⋯×JN\begin{align*} C \cap H & = (a, b_1) \times J_2 \times \dots \times J_N \\[2ex] C \cap H^C & = (a_1, a] \times J_2 \times \dots \times J_N \end{align*}

Y aunque (a1,a](a_1, a] no es un intervalo abierto, como {a}\{a\} tiene medida cero, entonces (a1,a]=(a1,a)∪{a}(a_1, a] = (a_1, a) \cup \{a\} tiene la misma medida que (a1,a)(a_1, a) así:

μN∗(C∩H)=vN(C∩H)=∣a−b1∣⋅vN(J2)⋅⋯⋅vN(JN)μN∗(C∩HC)=vN(C∩HC)=∣a1−a∣⋅vN(J2)⋅⋯⋅vN(JN)\begin{align*} \mu_N^*(C \cap H) & = v_N(C \cap H) = |a - b_1| \cdot v_N(J_2) \cdot \dots \cdot v_N(J_N)\\[2ex] \mu_N^*(C \cap H^C) & = v_N(C \cap H^C) = |a_1 - a| \cdot v_N(J_2) \cdot \dots \cdot v_N(J_N) \end{align*}

Por lo que sumando:

μN∗(C∩H)+μN∗(C∩HC)=(∣a−b1∣+∣a1−a∣)⏞(b1−a1)⋅vN(J2)⋅⋯⋅vN(JN)==vN(J1)⋅vN(J2)⋅⋯⋅vN(JN)==vN(C)=μN∗(C)  ⟹  H∈MN\begin{align*} \mu_N^*(C \cap H) + \mu_N^*(C \cap H^C) & = \overbrace{(|a - b_1| + |a_1 - a|)}^{(b_1 - a_1)} \cdot v_N(J_2) \cdot \dots \cdot v_N(J_N) = \\[2ex] & = v_N(J_1) \cdot v_N(J_2) \cdot \dots \cdot v_N(J_N) =\\[2ex] & = v_N(C) = \mu_N^*(C) \implies H \in \mathcal{M}_N \end{align*}
  • Si b1≤ab_1 \leq a entonces C∩H=∅C \cap H = \emptyset y C∩HC=CC \cap H^C = C por lo que:
μN∗(C∩H)+μN∗(C∩HC)=μN∗(∅)+μN∗(C)=μN∗(C)  ⟹  H∈MN\begin{align*} \mu_N^*(C \cap H) + \mu_N^*(C \cap H^C) = \mu_N^*(\emptyset) + \mu_N^*(C) = \mu_N^*(C) \implies H \in \mathcal{M}_N \end{align*}

Caracterización de medibilidad de Lebesgue. Proposición

Dado E⊆RNE \subseteq \mathbb{R}^N los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. E∈MNE \in \mathcal{M}_N
  2. ∀A⊆RN\forall A \subseteq \mathbb{R}^N se cumple:
μN∗(A)=μN∗(A∩E)+μN∗(A∩EC)\begin{align*} \mu_N^*(A) = \mu_N^*(A \cap E) + \mu_N^*(A \cap E^C) \end{align*}

o equivalentemente:

μN∗(A)≥μN∗(A∩E)+μN∗(A∩EC)\begin{align*} \mu_N^*(A) \geq \mu_N^*(A \cap E) + \mu_N^*(A \cap E^C) \end{align*}

📐Demostración

  • 2⇒1)2 \Rightarrow 1) Trivial, tomamos A=CA = C cubo abierto acotado cualquiera y por la propiedad de la medida exterior μN∗(C)=vN(C)\mu_N^*(C) = v_N(C) entonces se cumple:
vN(C)=μN∗(C)=μN∗(C∩E)+μN∗(C∩EC)\begin{align*} v_N(C) = \mu_N^*(C) = \mu_N^*(C \cap E) + \mu_N^*(C \cap E^C) \end{align*}

Por lo tanto E∈MNE \in \mathcal{M}_N.

  • 1⇒2)1 \Rightarrow 2) Tomamos A⊆RNA \subseteq \mathbb{R}^N cualquiera y tenemos dos casos:

  • Si μN∗(A)=∞\mu_N^*(A) = \infty, por subaditividad de μN∗\mu_N^*:

∞=μN∗(A)≤μN∗(A∩E)+μN∗(A∩EC)≤∞\begin{align*} \infty = \mu_N^*(A) \leq \mu_N^*(A \cap E) + \mu_N^*(A \cap E^C) \leq \infty \end{align*}

Y por el criterio del sándwich se cumple la igualdad.

  • Si μN∗(A)<∞\mu_N^*(A) < \infty entonces ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 existe recubrimiento numerable {Ii}i∈N\{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} de cubos abiertos tales que:
A⊆⋃i=1∞Ii y μN∗(A)+ε>∑i=1∞vN(Ii)\begin{align*} A \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i \quad \text{ y } \quad \mu_N^*(A) + \varepsilon > \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \end{align*}

Notar μN∗(A)+ε<∞\mu_N^*(A) + \varepsilon < \infty entonces los cubos IiI_i son acotados. Como E∈MNE \in \mathcal{M}_N:

μn∗(A)+ε≥∑i=1∞vN(Ii)=E∈MN∑i=1∞[μN∗(Ii∩E)+μN∗(Ii∩EC)]==∑i=1∞μN∗(Ii∩E)+∑i=1∞μN∗(Ii∩EC)≥subaditividad≥μN∗(E⋂[⋃i=1∞Ii])+μN∗(EC⋂[⋃i=1∞Ii])≥monotonia≥μN∗(A∩E)+μN∗(A∩EC)\begin{align*} \mu_n^*(A) + \varepsilon & \geq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \overset{E \in \mathcal{M}_N}{ = }\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \left[\mu_N^*(I_i \cap E) + \mu_N^*(I_i \cap E^C)\right] = \\[2ex] & = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(I_i \cap E) + \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(I_i \cap E^C) \overset{\text{\tiny subaditividad}}{\geq} \\[2ex] & \geq \mu_N^*\left(E \bigcap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i\right] \right) + \mu_N^*\left(E^C \bigcap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i\right]\right) \overset{\text{\tiny monotonia}}{\geq} \\[2ex] & \geq \mu_N^*(A \cap E) + \mu_N^*(A \cap E^C) \end{align*}

Tomamos ε>0\varepsilon > 0 y hacemos ε→0\varepsilon \to 0 para concluir que:

μN∗(A)+ε⏟→0≥μN∗(E∩A)+μN∗(EC∩A)\begin{align*} \mu_N^*(A) + \underbrace{\varepsilon}_{\to 0} \geq \mu_N^*(E \cap A) + \mu_N^*(E^C \cap A) \end{align*}

Proposición

Sea E,F∈MNE, F \in \mathcal{M}_N entonces:

  1. E∪F∈MNE \cup F \in \mathcal{M}_N
  2. E∩F∈MNE \cap F \in \mathcal{M}_N
  3. E∖F∈MNE \setminus F \in \mathcal{M}_N

📐Demostración

  1. Sea A⊆RNA \subseteq \mathbb{R}^N cualquiera. Entonces:
μN∗(A)=E∈MNμN∗(A∩E)+μN∗(A∩EC)=F∈MN=μN∗(A∩E)+μN∗(A∩EC∩F)+μN∗(A∩EC∩FC)==μN∗(A∩E)+μN∗(A∩[F∖E])+μN∗(A∩[E∪F]C)≥subadit.≥μN∗(A∩[E∪(F∖E)⏟E∪F])+μN∗(A∩[E∪F]C)==μN∗(A∩[E∪F])+μN∗(A∩[E∪F]C)  ⟹  E∪F∈MN\begin{align*} \mu_N^*(A) & \overset{E \in \mathbb{M}_N}{=} \mu_N^*(A \cap E) + \mu_N^*(A \cap E^C) \overset{F \in \mathcal{M}_N}{=} \\[2ex] & = \mu_N^*(A \cap E) + \mu_N^*(A \cap E^C \cap F) + \mu_N^*(A \cap E^C \cap F^C) = \\[2ex] & = \mu_N^*(A \cap E) + \mu_N^*(A \cap [F \setminus E]) + \mu_N^*(A \cap [E \cup F]^C) \overset{\text{\tiny subadit.}}{\geq}\\[2ex] & \geq \mu_N^*(A \cap [\underbrace{E \cup(F \setminus E)}_{E \cup F}]) + \mu_N^*(A \cap [E \cup F]^C) = \\[2ex] & = \mu_N^*(A \cap [E \cup F]) + \mu_N^*(A \cap [E \cup F]^C) \implies E \cup F \in \mathcal{M}_N\\ \end{align*}
  1. Como (E∩F)C=EC∪FC(E \cap F)^C = E^C \cup F^C y como EC,FC∈MNE^C, F^C \in \mathcal{M}_N entonces:
E∩F=(E∩F)CC∈MN\begin{align*} E \cap F = (E \cap F)^{C^C} \in \mathcal{M}_N\\ \end{align*}
  1. Como E∖F=E∩FCE \setminus F = E \cap F^C y como FC∈MNF^C \in \mathcal{M}_N entonces E∖F∈MNE \setminus F \in \mathcal{M}_N

Corolario

Sean {Ei}i∈N⊆MN\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{M}_N con N∈NN \in \mathbb{N} entonces para n∈Nn \in \mathbb{N}:

⋃i=1nEi∈MN y ⋂i=1nEi∈MN\begin{align*} \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i \in \mathcal{M}_N \quad \text{ y } \quad \displaystyle \bigcap_{i = 1}^{n} E_i \in \mathcal{M}_N \end{align*}

📐Demostración

Por inducción en nn usando la proposición anterior.

Proposición

Sea {Ei}i∈N⊆MN\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{M}_N donde Ei∩Ej=∅E_i \cap E_j = \emptyset si i≠ji \neq j y sea A∈RNA \in \mathbb{R}^N con n∈Nn \in \mathbb{N} entonces:

μN∗(A∩[⋃i=1nEi])=∑i=1nμN∗(A∩Ei)\begin{align*} \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n}E_i\right]\right) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \mu_N^*(A \cap E_i) \end{align*}

📐Demostración

Por inducción en nn:

  • Si n=1n = 1 se cumple trivialmente ya que:
μN∗(A∩[⋃i=11Ei])=μN∗(A∩E1)=∑i=11μN∗(A∩Ei)\begin{align*} \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{1} E_i\right]\right) = \mu_N^*(A \cap E_1) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{1} \mu_N^*(A \cap E_i) \end{align*}
  • Por hipótesis de inducción, supongamos que se cumple para nn:
μN∗(A∩[⋃i=1nEi])=∑i=1nμN∗(A∩Ei)\begin{align*} \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i\right]\right) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \mu_N^*(A \cap E_i) \end{align*}

Probemos que se cumple para n+1n + 1, es decir:

μN∗(A∩[⋃i=1n+1Ei])=∑i=1n+1μN∗(A∩Ei)\begin{align*} \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right]\right) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n + 1} \mu_N^*(A \cap E_i) \end{align*}

Como En+1∈MNE_{n + 1} \in \mathcal{M}_N por carracterización de medibilidad de Lebesgue aplicada al conjunto A∩[⋃i=1n+1Ei]A \cap \left[\bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right] tenemos:

μN∗(A∩[⋃i=1n+1Ei])=μN∗([A∩[⋃i=1n+1Ei]]∩En+1)++μN∗(A∩[⋃i=1n+1Ei]∩En+1C)\begin{align*} \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right]\right) = & \mu_N^*\left(\left[A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right]\right] \cap E_{n + 1}\right) + \\[1ex] & + \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right]\cap E_{n + 1}^C\right) \end{align*}

Como tenemos que Ei∩Ej=∅E_i \cap E_j = \emptyset si i≠ji \neq j entonces el primer término es:

[A∩[⋃i=1n+1Ei]]∩En+1=A∩[(⋃i=1n+1Ei)∩En+1]=A∩En+1\begin{align*} \left[A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right]\right] \cap E_{n + 1} = A \cap \left[\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right) \cap E_{n + 1}\right] = A \cap E_{n + 1} \end{align*}

y el segundo término es:

[A∩[⋃i=1n+1Ei]]∩En+1C=A∩[(⋃i=1n+1Ei)∩En+1C]=A∩[⋃i=1nEi]\begin{align*} \left[A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right]\right] \cap E_{n + 1}^C = A \cap \left[\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right) \cap E_{n + 1}^C\right] = A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i\right] \end{align*}

Luego si sustituimos en :

μN∗(A∩[⋃i=1n+1Ei])=μN∗(A∩En+1)+μN∗(A∩[⋃i=1nEi])=H.I.=μN∗(A∩En+1)+∑i=1nμN∗(A∩Ei)==∑i=1n+1μN∗(A∩Ei)\begin{align*} \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n + 1} E_i\right]\right)& = \mu_N^*(A \cap E_{n + 1}) + \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i\right]\right) \overset{\text{\tiny H.I.}}{=} \\[2ex] & = \mu_N^*(A \cap E_{n + 1}) + \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \mu_N^*(A \cap E_i) = \\[2ex] & = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n + 1} \mu_N^*(A \cap E_i) \end{align*}

Teorema de Medida de Lebesgue

Para μN:−μN∗∣MN\mu_N \coloneq {\mu_N^*}_{|_{\mathcal{M}_N}} se tiene que (RN,MN,μN)(\mathbb{R}^N, \mathcal{M}_N, \mu_N) es un espacio de medida completo tal que:

τRN⊆MN y μN(C)=vN(C)∀C cubo acotado\begin{align*} \tau_{\mathbb{R}^N} \subseteq \mathcal{M}_N \quad \text{ y } \quad \mu_N(C) = v_N(C) \quad \forall C \text{ cubo acotado} \end{align*}

📐Demostración

  1. Ver que MN\mathcal{M}_N es una σ\sigma-álgebra
  • ∅∈MN\emptyset \in \mathcal{M}_N: Por las propiedades de \mathcal{M_N} sabemos que ∅∈MN\emptyset \in \mathcal{M}_N.
  • Si E∈MNE \in \mathcal{M}_N entonces EC∈MNE^C \in \mathcal{M}_N: Por las propiedades de \mathcal{M_N} sabemos que si E∈MNE \in \mathcal{M}_N entonces EC∈MNE^C \in \mathcal{M}_N.
  • MN\mathcal{M}_N es cerrada bajo uniones numerables: Sea {Ei}i∈N⊆MN\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{M}_N aplicando desjuntificación, obtenemos:
F1:−E1∈MNF2:−E2∖E1∈MN⋮⋮Fn+1:−En+1∖⋃i=1nEi∈MN\begin{align*} F_1 & \coloneq E_1 \in \mathcal{M}_N\\ F_2 & \coloneq E_2 \setminus E_1 \in \mathcal{M}_N\\ \vdots & \vdots \\ F_{n + 1} & \coloneq E_{n + 1} \setminus \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i \in \mathcal{M}_N \end{align*}

Así, tenemos que ∀n∈N\forall n \in \mathbb{N} se cumple:

⋃i=1nFi=⋃i=1nEiy⋃i=1∞Fi=⋃i=1∞Ei y Fi∩Fj=∅ si i≠j\begin{align*} \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} F_i = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i \quad \text{y} \quad \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} F_i = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} E_i \quad \text{ y } \quad F_i \cap F_j = \emptyset \text{ si } i \neq j \end{align*}

Veamos que es medible. Sea A⊆RNA \subseteq \mathbb{R}^N cualquiera, entonces para cada n∈Nn \in \mathbb{N} como ⋃i=1nEi∈MN\bigcup_{i = 1}^{n} E_i \in \mathcal{M}_N entonces:

μN∗(A)=μN∗(A∩[⋃i=1nEi])+μN∗(A∩[⋃i=1nEi]C)\begin{align*} \mu_N^*(A) = \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i\right]\right) + \mu_N^*\left(A \cap \left[\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n}E_i\right]^C\right) \end{align*}

Donde tenemos que:

  1. Ver que τRN⊆MN\tau_{\mathbb{R}^N} \subseteq \mathcal{M}_N: Para cada j=1,…,Nj = 1, \dots, N definimos los semiespacios:
Hj+:−(aj,∞)×RN−1Hj−:−(−∞,aj)×RN−1\begin{align*} H_j^{ + } & \coloneq (a_j, \infty) \times \mathbb{R}^{N - 1} \\[2ex] H_j^{ - } & \coloneq (-\infty, a_j) \times \mathbb{R}^{N - 1} \end{align*}

Vimos en las propiedades de \mathcal{M_N} que Hj+,Hj−∈MNH_j^{ + }, H_j^{ - } \in \mathcal{M}_N.

Como todo cubo abierto C=(a1,b1)×(a2,b2)×⋯×(aN,bN)C = (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) \times \dots \times (a_N, b_N) puede expresarse como intersección finita de semiespacios Hj+H_j^{ + } y Hj−H_j^{ - }:

C=⋂i=1N(Hi+∩Hi−)\begin{align*} C = \displaystyle \bigcap_{i = 1}^{N} \left(H_i^{ + } \cap H_i^{ - }\right) \end{align*}

entonces C∈MNC \in \mathcal{M}_N por la propiedad de cerradura bajo intersección finita de MN\mathcal{M}_N.

Ahora, definimos la base numerable de τRN\tau_{\mathbb{R}^N}.:

A:−{(p1,q1)×(p2,q2)×⋯×(pN,qN):pi,qi∈Q,pi<qi}\begin{align*} \mathcal{A} \coloneq \left\{(p_1, q_1) \times (p_2, q_2) \times \dots \times (p_N, q_N) : p_i, q_i \in \mathbb{Q}, p_i < q_i\right\} \end{align*}

Al ser base de τRN\tau_{\mathbb{R}^N}, todo abierto O∈τRNO \in \tau_{\mathbb{R}^N} puede expresarse como unión numerable de elementos de A\mathcal{A}. Como A⊆MN\mathcal{A} \subseteq \mathcal{M}_N y MN\mathcal{M}_N es cerrada bajo uniones numerables, entonces O∈MNO \in \mathcal{M}_N. 3. Ver que μN\mu_N es medida: Veamos que cumple las dos propiedades de la definición de medida:

  • μN(∅)=0\mu_N(\emptyset ) = 0: Ya hemos probado esto, por definición μN\mu_N y por la propiedad de la medida exterior μN∗\mu_N^* tenemos:
μN(∅)=μN∗(∅)=0\begin{align*} \mu_N(\emptyset ) = \mu_N^*(\emptyset ) = 0 \end{align*}
  • σ\sigma-aditividad: Sea {Ei}i∈N⊆MN\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{M}_N disjuntos entonces para cada n∈Nn \in \mathbb{N}:
∑i=1nμN(Ei)=prop. antEi∩Ej=∅μN(⋃i=1nEi)≤monot.μN(⋃i=1∞Ei)==μN∗(⋃i=1∞Ei)≤subadit.∑i=1∞μN∗(Ei)=∑i=1∞μN(Ei)\begin{align*} \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \mu_N(E_i) & \xlongequal[\text{\tiny prop. ant}]{E_i \cap E_j = \emptyset } \mu_N\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n}E_i\right) \overset{\text{\tiny monot.}}{\leq} \mu_N\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} E_i\right) = \\[2ex] & = \mu_N^*\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} E_i\right) \overset{\text{\tiny subadit.}}{\leq} \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N^*(E_i) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N(E_i) \end{align*}

Y ahora, si hacemos n→∞n \to \infty obtenemos:

∑i=1∞μN(Ei)≤μN(⋃i=1∞Ei)≤∑i=1∞μN(Ei)\begin{align*} \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N(E_i) \leq \mu_N\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} E_i\right) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_N(E_i) \end{align*}

Por el criterio del sándwich se cumple la igualdad y por lo tanto es σ\sigma-aditiva. 4. (RN,MN,μN)(\mathbb{R}^N, \mathcal{M}_N, \mu_N) es completo: Sea E∈MNE \in \mathcal{M}_N con μN(E)=0\mu_N(E) = 0 y F⊆EF \subseteq E, entonces:

0≤μN∗(F)≤monot.μN∗(E)=0  ⟹  μN∗(F)=0  ⟹  F∈MN\begin{align*} 0 \leq \mu_N^*(F) \overset{\text{\tiny monot.}}{\leq} \mu_N^*(E) = 0 \implies \mu_N^*(F) = 0 \implies F \in \mathcal{M}_N \end{align*}
  1. Ver que μN(C)=vN(C)\mu_N(C) = v_N(C) para todo cubo acotado CC: Sea CC un cubo abierto acotado en RN\mathbb{R}^N, por las propiedades de μN∗\mu_N^* sabemos que μN∗(C)=vN(C)\mu_N^*(C) = v_N(C) y como C∈MNC \in \mathcal{M}_N entonces:
μN(C)=μN∗(C)=vN(C)\begin{align*} \mu_N(C) = \mu_N^*(C) = v_N(C)\\ \end{align*}

💡Nota

Ahora, para cerrar este tema, nos va a faltar ver la relación entre la medida de Lebesgue y la medida de Borel:

(RN,BN~,μN~)=(RN,MN,μN)\begin{align*} (\mathbb{R}^N, \widetilde{\mathcal{B}_N}, \widetilde{\mu_N}) = (\mathbb{R}^N, \mathcal{M}_N, \mu_N) \end{align*}

Caracterización topológica de los conjuntos medibles de Lebesgue de RN\mathbb{R^N}. Teorema

Para todo E⊆RNE \subseteq \mathbb{R}^N los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. E∈MNE \in \mathcal{M}_N
  2. ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 existe OO abierto tal que E⊆OE \subseteq O y μN∗(O∖E)<ε\mu_N^*(O \setminus E) < \varepsilon
  3. ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 existe CC cerrado tal que C⊆EC \subseteq E y μN∗(E∖C)<ε\mu_N^*(E \setminus C) < \varepsilon
  4. ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 existe OO abierto y CC cerrado tal que C⊆E⊆OC \subseteq E \subseteq O y μN∗(O∖C)<ε\mu_N^*(O \setminus C) < \varepsilon

💡Nota

La demostración se hará siguiendo el esquema:

1  ⟹  2  ⟹  11  ⟹  3  ⟹  11  ⟹  4  ⟹  2∧3\begin{align*} 1 & \implies 2 \implies 1\\ 1 & \implies 3 \implies 1\\ 1 & \implies 4 \implies 2 \land 3 \end{align*}

📐Demostración

  • 1⇒21 \Rightarrow 2) Sea E∈MNE \in \mathcal{M}_N se puede aproximar por abiertos que lo contienen. Así se dan dos casos:

  • Sea μN(E)<∞\mu_N(E) < \infty: Por definción de medida exterior, ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 existe un recubrimiento por cubos abiertos {Ii}i∈N\{I_i\}_{i \in \mathbb{N}} tales que:

E⊆⋃i=1∞Ii y μN(E)+ε>∑i=1∞vN(Ii)\begin{align*} E \subseteq \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} I_i \quad \text{ y } \quad \mu_N(E) + \varepsilon > \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) \end{align*}

Sea O:−⋃i=1∞IiO \coloneq \bigcup_{i = 1}^\infty I_i así OO es abierto y E⊆OE \subseteq O. Como EE es medible entonces:

μN(O)=μN(O∩E)+μN(O∩EC)=μN(E)+μN(O∖E)\begin{align*} \mu_N(O) = \mu_N(O \cap E) + \mu_N(O \cap E^C) = \mu_N(E) + \mu_N(O \setminus E) \end{align*}

Por lo tanto:

μN(O∖E)=μN(O)−μN(E)≤∑i=1∞vN(Ii)−μN(E)<ε\begin{align*} \mu_N(O \setminus E) & = \mu_N(O) - \mu_N(E) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} v_N(I_i) - \mu_N(E) < \varepsilon \end{align*}
  • Sea μN(E)=∞\mu_N(E) = \infty: Descomponemos RN\mathbb{R}^N en conjuntos disjuntos, para ello, consideramos los cubos Cn:−[−n,n]NC_n \coloneq [ - n, n]^N con n∈Nn \in \mathbb{N} y los conjuntos:
D1:−C1∈MND2:−C2∖C1∈MN⋮⋮Dn+1:−Cn+1∖Cn∈MN\begin{align*} D_1 & \coloneq C_1 \in \mathcal{M}_N\\ D_2 & \coloneq C_2 \setminus C_1 \in \mathcal{M}_N\\ \vdots & \vdots \\ D_{n + 1} & \coloneq C_{n + 1} \setminus C_n \in \mathcal{M}_N \end{align*}

Así, RN=⋃i=1∞Dn\mathbb{R}^N = \bigcup_{i = 1}^\infty D_n:

  • 1⇒31 \Rightarrow 3) Sea E∈MNE \in \mathcal{M}_N, entonces queremos aproximarlo por cerrados contenidos en él, así consideramos ε>0\varepsilon > 0 entonces aplicando 1⇒21 \Rightarrow 2 a ECE^C existe OO abierto con:
EC⊆O y μN(O∖EC)<ε\begin{align*} E^C \subseteq O \quad \text{ y } \quad \mu_N(O \setminus E^C) < \varepsilon \end{align*}

Sea C:−OCC \coloneq O^C cerrado, así CC=OC^C = O luego:

μN(CC∖EC)=μN(O∖EC)<ε\begin{align*} \mu_N\left(C^C\setminus E^C\right) = \mu_N(O \setminus E^C) < \varepsilon\\ \end{align*}
  • 1⇒41 \Rightarrow 4) Sea E∈MNE \in \mathcal{M}_N y consideramos ε>0\varepsilon > 0 cualquiera, aplicando 1⇒21 \Rightarrow 2 y 1⇒31 \Rightarrow 3 se obtienen OO abierto y CC cerrado tales que:
C⊆E⊆O y μN(O∖E)<ε2,μN(E∖C)<ε2\begin{align*} C \subseteq E \subseteq O \quad \text{ y } \quad \mu_N(O \setminus E) < \frac{\varepsilon}{2}, \quad \mu_N(E \setminus C) < \frac{\varepsilon}{2} \end{align*}

Luego:

μN(O∖C)=μN([O∖E]∪[E∖C])≤μN(O∖E)+μN(E∖C)<ε2+ε2=ε\begin{align*} \mu_N(O\setminus C) = \mu_N\left([O \setminus E] \cup [E \setminus C]\right) \leq \mu_N(O \setminus E) + \mu_N(E \setminus C)< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\\ \end{align*}
  • 4⇒24 \Rightarrow 2) (Y 4⇒34 \Rightarrow 3) Por hipótesis dado ε>0\varepsilon > 0 existen CC cerrado y OO abierto tales que:
C⊆E⊆O y μN(O∖C)<ε\begin{align*} C \subseteq E \subseteq O \quad \text{ y } \quad \mu_N(O \setminus C) < \varepsilon \end{align*}

Entonces:

O∖E⊆O∖C  ⟹  μN∗(O∖E)≤μN∗(O∖C)<εE∖C⊆O∖C  ⟹  μN∗(E∖C)≤μN∗(O∖C)<ε\begin{align*} O\setminus E \subseteq O \setminus C & \implies \mu_N^*(O \setminus E) \leq \mu_N^*(O \setminus C) < \varepsilon\\[2ex] E \setminus C \subseteq O \setminus C & \implies \mu_N^*(E \setminus C) \leq \mu_N^*(O \setminus C) < \varepsilon\\ \end{align*}
  • 2⇒12 \Rightarrow 1) Por hipótesis para cada n∈Nn \in \mathbb{N} existe OnO_n abierto tal que:
E⊆On y μN∗(On∖E)<1n\begin{align*} E \subseteq O_n \quad \text{ y } \quad \mu_N^*(O_n \setminus E) < \frac{1}{n} \end{align*}

Consideramos los abiertos Gn:−⋂i=1nOiG_n \coloneq \bigcap_{i = 1}^n O_i así:

  • Gn⊇Gn+1G_n \supseteq G_{n + 1}
  • E⊆GnE \subseteq G_n
  • μN∗(Gn∖E)≤μN∗(On∖E)<1n\mu_N^*(G_n \setminus E) \leq \mu_N^*(O_n \setminus E) < \frac{1}{n}

Sea G:−⋂i=1∞Gn∈MNG \coloneq \bigcap_{i = 1}^\infty G_n \in \mathcal{M}_N tenemos que E⊆GE \subseteq G y :

μN∗(G∖E)≤μN∗(Gn∖E)<1n∀n∈N\begin{align*} \mu_N^*(G \setminus E) \leq \mu_N^*(G_n \setminus E) < \frac{1}{n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Haciendo n→∞n \to \infty obtenemos:

0≤μN∗(G∖E)≤0  ⟹  N:−G∖E∈MN y μN(N)=0\begin{align*} 0 \leq \mu_N^*(G \setminus E) \leq 0 \implies N \coloneq G \setminus E \in \mathcal{M}_N \quad \text{ y } \quad \mu_N(N) = 0 \end{align*}

Además, como G,N∈MNG, N \in \mathcal{M}_N entonces E=G∖N∈MNE = G \setminus N \in \mathcal{M}_N

  • 3⇒13 \Rightarrow 1) Por hipótesis para cada n∈Nn \in \mathbb{N} existe CnC_n cerrado tal que:
E⊇Cn y μN∗(E∖Cn)<1n\begin{align*} E \supseteq C_n \quad \text{ y } \quad \mu_N^*(E \setminus C_n) < \frac{1}{n} \end{align*}

Consideramos los cerrados Dn:−⋃i=1nCiD_n \coloneq \bigcup_{i = 1}^n C_i así:

  • Dn⊆Dn+1D_n \subseteq D_{n + 1}
  • E⊇DnE \supseteq D_n
  • μN∗(E∖Dn)≤μN∗(E∖Cn)<1n\mu_N^*(E \setminus D_n) \leq \mu_N^*(E \setminus C_n) < \frac{1}{n}

Sea D:−⋃i=1∞Dn∈MND \coloneq \bigcup_{i = 1}^\infty D_n \in \mathcal{M}_N, así:

E⊇D y μN∗(E∖D)≤μN∗(E∖Dn)<1n\begin{align*} E \supseteq D \quad \text{ y } \quad \mu_N^*(E \setminus D) \leq \mu_N^*(E \setminus D_n) < \frac{1}{n} \end{align*}

Haciendo n→∞n \to \infty obtenemos:

0≤μN∗(E∖D)≤0  ⟹  M:−E∖D∈MN y μN(M)=0\begin{align*} 0 \leq \mu_N^*(E \setminus D) \leq 0 \implies M \coloneq E \setminus D \in \mathcal{M}_N \quad \text{ y } \quad \mu_N(M) = 0 \end{align*}

Además, como D,M∈MND, M \in \mathcal{M}_N entonces E=D∪M∈MNE = D \cup M \in \mathcal{M}_N

💡Nota

Las implicaciones de esta demostración lo que dicen (en castellano) es:

  • 1⇒21 \Rightarrow 2) Si EE es medible entonces se puede aproximar por abiertos que lo contienen.
  • 1⇒31 \Rightarrow 3) Si EE es medible entonces se puede aproximar por cerrados que están contenidos en él.
  • 1⇒41 \Rightarrow 4) Si EE es medible entonces puede ser ``encajado'' entre un cerrado y un abierto.
  • 4⇒24 \Rightarrow 2) (y 4⇒34 \Rightarrow 3) La aproximación bilateral implica la aproximación unilateral.
  • 2⇒12 \Rightarrow 1) Si EE puede ser aproximado por abiertos que lo contienen entonces es medible.
  • 3⇒13 \Rightarrow 1) Si EE puede ser aproximado por cerrados que están contenidos en él entonces es medible.

💡Observación

Todo E∈MNE \in \mathcal{M}_N se puede expresar como:

E=(⋂n=1∞Gn)∖N o E=(⋃n=1∞Dn)∪M\begin{align*} E = \left(\displaystyle \bigcap_{n = 1}^{\infty} G_n\right) \setminus N \quad \text{ o } \quad E = \left(\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} D_n\right) \cup M \end{align*}

donde (Gn)n(G_n)_n es una sucesión decreciente de abiertos, (Dn)n(D_n)_n es una sucesión creciente de cerrados y N,MN, M son conjuntos de medida nula.

Además, los conjuntos ⋂n=1∞Gn\bigcap_{n = 1}^\infty G_n y ⋃n=1∞Dn\bigcup_{n = 1}^\infty D_n son conjuntos Borelianos.

Medida de Borel y medida de Lebesgue en RN\mathbb{R}^N. Corolario

Se tiene que:

(RN,MN,μN)=(RN,BN~,μN∣BN~)\begin{align*} \left(\mathbb{R}^N, \mathcal{M}_N, \mu_N\right) = \left(\mathbb{R}^N, \widetilde{\mathcal{B}_N}, \widetilde{\mu_{N|_{\mathcal{B}_N}}}\right) \end{align*}

📐Demostración

  • Veamos que MN=BN~\mathcal{M}_N = \widetilde{\mathcal{B}_N}:

\item Veamos que μN=μN∣BN~\mu_N = \widetilde{{\mu_N}_{|_{\mathcal{B}_N}}}: Sea E∈BN~E \in \widetilde{\mathcal{B}_N} entonces:

E=A∪M con {A∈BNM⊆P∈BN y μN(P)=0\begin{align*} E = A \cup M \quad \text{ con } \left\{ \begin{array}{l} A \in \mathcal{B}_N\\ M \subseteq P \in \mathcal{B}_N \text{ y } \mu_N(P) = 0 \end{array} \right. \end{align*}

Luego, por definición de μN~\widetilde{\mu_N}:

μN~(E)=μN~(A∪M)=μN(A)\begin{align*} \widetilde{\mu_N}(E) = \widetilde{\mu_N}(A \cup M) = \mu_N(A) \end{align*}

Como E⊆A∪PE \subseteq A \cup P entonces:

μN(E)≤μN(A∪P)≤subadit.μN(A)+μN(P)=μN(A)≤μN(E)\begin{align*} \mu_N(E) \leq \mu_N(A \cup P) \overset{\text{subadit.}}{\leq} \mu_N(A) + \mu_N(P) = \mu_N(A) \leq \mu_N(E) \end{align*}

Por el criterio del sándwich se cumple la igualdad y por lo tanto:

μN(E)=μN~(E)\begin{align*} \mu_N(E) = \widetilde{\mu_N}(E) \end{align*}