Resolución Examen Análisis 2025

Ejercicio 1: Integración por partes

Sabemos que la integración por partes se basa en la fórmula:

$$\int u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) - \int v(x) \cdot u'(x) \, dx$$

Para resolver el ejercicio $\int x \cdot \ln(x) \, dx$, elegimos:

• $u(x) = \ln(x)$
• $v'(x) = x$

Entonces:

• $u'(x) = \frac{1}{x}$
• $v(x) = \frac{x^2}{2}$

Sustituyendo en la fórmula de integración por partes:

$$\int x \cdot \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$$

Simplificando:

$$\int x \cdot \ln(x) \, dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \int \frac{x}{2} \, dx$$ $$\int x \cdot \ln(x) \, dx = \frac{x^2 \ln(x)}{2} - \frac{x^2}{4} + C$$

Ejercicio 2: Cálculo de límites

Para calcular el límite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$, usamos la propiedad:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = a$$

Por lo tanto:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$$

Ejercicio 3: Derivada de una función compuesta

Recordando la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Si $f(x) = e^{x^2}$, calculamos:

$$\frac{d}{dx}[e^{x^2}] = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}[x^2] = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2}$$