Análisis 3 - Tema 7

Análisis III
Series de Fourier
Espacios de Hilbert
Sistemas Ortonormales
2026-01-12
106 min de lectura

Series de Fourier

Recordemos que:

L2(X,K)≡L2(X,K)N\begin{align*} L_2(X, \mathbb{K}) \equiv \dfrac{\mathcal{L}_2(X, \mathbb{K})}{N} \end{align*}

donde f∼g  ⟺  f≡g μf \sim g \iff f \equiv g \, \mu-a.e. es un espacio de Hilbert con el producto escalar:

⟨f,g⟩=∫Xf‾⋅g dμ con norma ∥f∥2=⟨f,f⟩\begin{align*} \langle f, g \rangle = \int_X \overline{f} \cdot g \, d\mu \quad \text{ con norma } \|f\|^2 = \langle f, f\rangle \end{align*}

💡Nota

Recordar que L2\mathcal{L}_2 no es espacio de Hilbert pero L2L_2 si lo es, ya que el producto escalar no distingue entre funciones que difieren en un conjunto de medida nula.

💡Nota

Para aquellos cuyo itinerario académico lo diseñó un troglodita y, por tanto, hace que no cursan nada que emplee números complejos desde antes de la universidad, recordemos que:

z‾=a−ib si z=a+iba,b∈R\begin{align*} \overline{z} = a - ib \quad \text{ si } z = a + ib \quad a, b \in \mathbb{R} \end{align*}

Es decir, el conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Por tanto, la idea de f‾\overline{f} es aplicar el conjugado a cada valor que toma la función ff.

La idea es poder aproximar mediante una función f∈L2(X,K)f \in L_2(X, \mathbb{K}) mediante una suma de funciones más elementales. En particular, a partir de aquí en adelante, consideramos que X=I=[0,2π]X = I = [0, 2\pi] y K=R\mathbb{K} = \mathbb{R} o C\mathbb{C}. La función f∈L2([0,2π],K)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) será periódica de periodo 2π2\pi.

Sistema ortonormal. Definición

Sea un espacio pre-Hilbert VV, se dice sistema ortonormal en VV a un conjunto {φn}n∈N⊆V\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq V o {φn}n∈Z⊆V\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{Z}} \subseteq V que cumple:

⟨φn,φm⟩=δnm={1 si n=m0 si n≠m\begin{align*} \langle \varphi_n, \varphi_m \rangle = \delta_{nm} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ si } n = m\\ 0 & \text{ si } n \neq m \end{array} \right. \end{align*}

💡Nota

La noción de ortonormalidad es el análogo funcional a los vectores e1,…,en∈RNe_1, \dots , e_n \in \mathbb{R}^N pero que cumplen que son ortogonales (``no se mezclan'') y de norma uno (no hay que reescalar nada).

✏️Ejemplo

Sea K=R\mathbb{K} = \mathbb{R} y V=L2([0,2π],R)V = L_2([0, 2\pi], \mathbb{R}), el sistema dado por:

{φn}n∈N={φi(t)=12π si n=0φ2n−1(t)=cos⁡ntπ si n≥1φ2n(t)=sin⁡ntπ si n≥1\begin{align*} \{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} = \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_i (t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} & \text{ si } n = 0\\[1ex] \varphi_{2n - 1}(t) = \frac{\cos nt}{\sqrt{\pi}} & \text{ si } n \geq 1\\[1ex] \varphi_{2n}(t) = \frac{\sin nt}{\sqrt{\pi}} & \text{ si } n \geq 1 \end{array} \right. \end{align*}

es un sistema ortonormal en L2([0,2π],R)L_2([0, 2\pi], \mathbb{R}).

Notar que las constantes de normalización vienen dadas por:

∫02πcos⁡2(nt) dt=∫02πsin⁡2(nt) dt=π∀n∈N\begin{align*} \int_0^{2\pi} \cos^2 (n t) \, dt = \int_0^{2\pi} \sin^2 (n t) \, dt = \pi \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Y por tanto, para que la norma sea uno, hay que dividir entre π\sqrt{\pi}. Por otra parte:

∫02π12 dt=2π\begin{align*} \int_0^{2\pi} 1^2 \, dt = 2\pi \end{align*}

luego, para que la norma sea uno, hay que dividir entre 2π\sqrt{2\pi}.

✏️Ejemplo

Sea K=C\mathbb{K} = \mathcal{C} y V=L2([0,2π],C)V = L_2([0, 2\pi], \mathcal{C}), el sistema dado por:

{φn}n∈Z={φn(t)=eint2πn∈Z}\begin{align*} \{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{Z}} = \left\{\varphi_n(t) = \frac{e^{int}}{\sqrt{2\pi}} \quad n \in \mathbb{Z}\right\} \end{align*}

es un sistema ortonormal en L2([0,2π],C)L_2([0, 2\pi], \mathcal{C}).

Teorema de Óptima Aproximación. Teorema

Sea VV espacio pre-Hilbert, {φ0,…,φn}⊆V\{\varphi_0, \dots , \varphi_n\} \subseteq V sistema ortonormal en VV y f∈Vf \in V, si W≡K⟨{φ0,…,φn}⟩W \equiv K\langle\{\varphi_0, \dots , \varphi_n\}\rangle, el elemento de WW que mejor aproxima ff (en el sentido de que minimiza la norma) entre los WW es:

Sn(x)=∑k=0n⟨f,φk⟩⏟ckφk\begin{align*} S_n(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \underbrace{\langle f, \varphi_k\rangle}_{c_k} \varphi_k \end{align*}

Es decir, dado tn=∑k=0nbkφk∈Wt_n = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} b_k \varphi_k \in W entonces:

∥f−Sn(x)∥≤∥f−tn∥∀tn∈W\begin{align*} \|f - S_n(x)\| \leq \|f - t_n\| \quad \forall t_n \in W \end{align*}

💡Nota

En términos simples, lo que dice este resultado es que si se tiene un subespacio finito WW generado por vectores ortonormales, la mejor aproximación de ff es su proyección ortogonal sobre WW. Es decir, si solo se pueden emplear combinaciones de φ0,…,φn\varphi_0, \dots, \varphi_n para aproximar ff, la mejor opción es usar los coeficientes dados por el producto escalar ⟨f,φk⟩\langle f, \varphi_k\rangle.

📐Demostración

Podemos notar que:

∥f−tn∥2=⟨f−tn,f−tn⟩=⟨f,f⟩−⟨f,tn⟩−⟨tn,f⟩+⟨tn,tn⟩==∥f∥2−⟨f,∑k=0nbkφk⟩−⟨∑k=0nbkφk,f⟩+⟨∑k=0nbkφk,∑k=0nbkφk⟩==∥f∥2−∑k=0nbk⟨f,φk⟩−∑k=0nbk‾⟨φk,f⟩+∑k=0nbk‾bk==∥f∥2−∑k=0n[−bkck−bk‾ck‾+bk‾bk]==∥f∥2+∑k=0n(bk−ck)(bk‾−ck‾)⏟∣bk−ck∣2−∑k=0n∣ck∣2==∥f∥2−∑k=0n∣ck∣2+∑k=0n∣bk−ck∣2⏟≥0≥∥f∥2−∑k=0n∣ck∣2=∥f−Sn(x)∥2\begin{align*} \|f - t_n\|^2 & = \langle f - t_n, f - t_n\rangle = \langle f, f \rangle - \langle f, t_n \rangle - \langle t_n, f \rangle + \langle t_n, t_n \rangle = \\[2ex] & = \|f\|^2 - \left\langle f , \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} b_k \varphi_k\right\rangle - \left\langle \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} b_k \varphi_k, f\right\rangle + \left\langle \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} b_k \varphi_k, \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} b_k \varphi_k\right\rangle = \\[2ex] & = \|f\|^2 - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} b_k \langle f, \varphi_k\rangle - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \overline{b_k} \langle \varphi_k, f\rangle + \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \overline{b_k} b_k = \\[2ex] & = \|f\|^2 - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \left[ - b_k c_k - \overline{b_k} \overline{c_k} + \overline{b_k} b_k \right] = \\[2ex] & = \|f\|^2 + \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \underbrace{(b_k - c_k)(\overline{b_k} - \overline{c_k})}_{|b_k - c_k|^2} - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} |c_k|^2 = \\[2ex] & = \|f\|^2 - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} |c_k|^2 + \underbrace{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} |b_k - c_k|^2}_{\geq 0} \geq \|f\|^2 - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} |c_k|^2 = \|f - S_n(x)\|^2 \end{align*}

Por tanto, ∥f−tn∥≥∥f−Sn(x)∥\|f - t_n\| \geq \|f - S_n(x)\|.

💡Nota

Observamos que a partir de este resultado buscamos aproximar ff por una combinación lineal infinita de funciones de un sistema ortonormal. El problema ahora es ver si, al dejar que n→∞n \to \infty, esta aproximación realmente converge a ff y bajo qué condiciones.

Coeficiente nn-ésimo de Fourier. Definición

Sea f∈L2([0,2π],K)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) función y {φn}n∈N\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} sistema ortonormal de L2([0,2π],K)L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}), se define el coeficiente nn-ésimo de Fourier de ff respecto a {φn}n∈N\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} como:

Cn=⟨f,φn⟩=∫02πf(t)‾φn(t) dt∀n∈N\begin{align*} C_n = \langle f, \varphi_n\rangle = \int_0^{2\pi} \overline{f(t)} \varphi_n(t) \, dt \quad \forall n \in \mathbb{N}\\ \end{align*}

💡Nota

Al final, lo que estamos haciendo es ver cuánto de la dirección de φn\varphi_n tiene ff, es decir, proyectar ff sobre φn\varphi_n.

Suma parcial nn-ésima de Fourier. Definición

Sea f∈L2([0,2π],K)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) función y {φn}n∈N\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} sistema ortonormal de L2([0,2π],K)L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}), se define la suma parcial nn-ésima de Fourier de ff respecto a {φn}n∈N\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} como:

Sn(x)=∑k=0nCkφk(x)=∑k=0n⟨f,φk⟩φk(x)∀n∈N\begin{align*} S_n(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} C_k \varphi_k(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \langle f, \varphi_k\rangle \varphi_k(x) \quad \forall n \in \mathbb{N}\\ \end{align*}

Serie de Fourier. Definición

Sea f∈L2([0,2π],K)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) función y {φn}n∈N\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} sistema ortonormal de L2([0,2π],K)L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}), se define la serie de Fourier de ff respecto a {φn}n∈N\{\varphi_n\}_{n \in \mathbb{N}} como:

S(x)=∑k=0∞Ckφk(x)=∑k=0∞⟨f,φk⟩φk(x)\begin{align*} S(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} C_k \varphi_k(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} \langle f, \varphi_k\rangle \varphi_k(x) \end{align*}

Además, está bien definida ya que existe un elemento S(x)∈L2([0,2π],K)S(x) \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) tal que:

∥S−Sn(x)∥→n→∞0\begin{align*} \|S - S_n(x)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \end{align*}

📐Demostración

Basta ver que:

∥Sp(x)−Sq(x)∥2=∥∑k=p+1q⟨f,φk⟩φk∥2=⟨∑k=p+1q⟨f,φk⟩φk, ∑k=p+1q⟨f,φk⟩φk⟩=∑k=p+1q∣⟨f,φk⟩∣2=∣aq(x)−ap(x)∣\begin{align*} \|S_p(x) - S_q(x)\|^2 & = \left\| \displaystyle \sum_{k = p + 1}^{q} \langle f, \varphi_k\rangle \varphi_k \right\|^2 = \left\langle \displaystyle \sum_{k = p + 1}^{q} \langle f, \varphi_k\rangle \varphi_k, \, \displaystyle \sum_{k = p + 1}^{q} \langle f, \varphi_k\rangle \varphi_k \right\rangle = \\[2ex] & \displaystyle \sum_{k = p + 1}^{q} |\langle f, \varphi_k\rangle|^2 = | a_q (x) - a_p (x) | \end{align*}

donde tenemos:

an(x)=∑k=0n∣⟨f,φk⟩∣2\begin{align*} a_n (x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} |\langle f, \varphi_k\rangle|^2 \end{align*}

La serie dada por a(x)=∑k=0∞∣⟨f,φk⟩∣2a(x) = \sum_{k = 0}^\infty |\langle f, \varphi_k\rangle|^2 es convergente ya que por el Teorema de Óptima Aproximación:

∥f−Sn∥2=∥f∥2−∑k=0n∣⟨f,φk⟩∣2⏟an(x)∀n∈N\begin{align*} \|f - S_n\|^2 = \|f\|^2 - \underbrace{\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \left|\langle f, \varphi_k\rangle\right|^2}_{a_n(x)} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Entonces:

∑k=0n∣⟨f,φk⟩∣2≤∥f∥2∀n∈N  ⟹  ∑k=0∞∣⟨f,φk⟩∣2≤∥f∥2\begin{align*} \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} \left|\langle f, \varphi_k\rangle\right|^2 \leq \|f\|^2 \quad \forall n \in \mathbb{N} \implies \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} \left|\langle f, \varphi_k\rangle\right|^2 \leq \|f\|^2 \end{align*}

Por lo tanto, la sucesión {an(x)}n=0∞\{a_n(x)\}_{n = 0}^\infty es de Cauchy, luego {Sn(x)}n=0∞\{S_n(x)\}_{n = 0}^\infty es también de Cauchy y, como L2([0,2π],K)L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) es completo, existe S(x)∈L2([0,2π],K)S(x) \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) tal que:

∥S−Sn(x)∥→n→∞0\begin{align*} \|S - S_n(x)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \end{align*}

💡Nota

A la desigualdad obtenida durante la demostración se le llama Desigualdad de Bessel:

∑k=0∞∣⟨f,φk⟩∣2≤∥f∥2\begin{align*} \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} \left|\langle f, \varphi_k\rangle\right|^2 \leq \|f\|^2 \end{align*}

💡Nota

Ahora, lo que sería deseable es que la serie de Fourier convergiera a ff en norma:

∥f−Sn(x)∥→n→∞0\begin{align*} \|f - S_n(x)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \end{align*}

Identidad de Parseval. Teorema

Sea f∈L2(I,K)f \in L_2(I, \mathbb{K}) función, {φn}n=0∞⊆L2(I,K)\{\varphi_n\}_{n = 0}^\infty \subseteq L_2(I, \mathbb{K}) sistema ortonormal y Cn≡⟨f,φn⟩C_n \equiv \langle f, \varphi_n\rangle para todo n∈Nn \in \mathbb{N} entonces:

∥f−Sn(x)∥→n→∞0  ⟺  ∑k=0∞∣Ck∣2=∥f∥2\begin{align*} \|f - S_n(x)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \iff \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} |C_k|^2 = \|f\|^2 \end{align*}

📐Demostración

Aplicando el Teorema de Óptima Aproximación tenemos que:

∥f−Sn∥2=∥f∥2−∑k=0n∣Ck∣2∀n∈N\begin{align*} \|f - S_n\|^2 = \|f\|^2 - \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} |C_k|^2 \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Por tanto, si hacemos que n→∞n \to \infty obtenemos:

∥f−Sn∥2→n→∞0  ⟺  ∥f∥2−∑k=0∞∣Ck∣2=0  ⟺  ∑k=0∞∣Ck∣2=∥f∥2\begin{align*} \|f - S_n\|^2 \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \iff \|f\|^2 - \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} |C_k|^2 = 0 \iff \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} |C_k|^2 = \|f\|^2 \end{align*}

Sistema completo. Definición

Sea H\mathcal{H} un espacio de Hilbert, decimos que un sistema ortonormal {φn}n=0∞⊆H\{\varphi_n\}_{n = 0}^\infty \subseteq \mathcal{H} es completo si satisface la identidad de Parseval ∀f∈H\forall f \in \mathcal{H}:

∥f∥2=∑k=0∞∣⟨f,φk⟩∣2\begin{align*} \|f\|^2 = \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} |\langle f, \varphi_k\rangle|^2\\ \end{align*}

💡Recordatorio

Decimos que un espacio es Hilbert si es un espacio pre-Hilbert completo, es decir, si toda sucesión de Cauchy en el espacio converge a un elemento del espacio. Equivalentemente, se puede definir un espacio de Hilbert como un espacio vectorial con producto escalar que es completo respecto a la norma inducida por el producto escalar.

Proposición

En L2(I,K)L_2(I, \mathbb{K}), el sistema ortonormal definido como:

{12π, cos⁡tπ, sin⁡tπ, cos⁡2tπ, sin⁡2tπ, …}\begin{align*} \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \, \frac{\cos t}{\sqrt{\pi}}, \, \frac{\sin t}{\sqrt{\pi}}, \, \frac{\cos 2t}{\sqrt{\pi}}, \, \frac{\sin 2t}{\sqrt{\pi}}, \, \ldots \right\} \end{align*}

es completo.

📐Demostración

No se verá, es un resultado muy largo que no va a demostrar

💡Nota

De forma algo intuitiva, podemos pensar que el sistema ortonormal anterior es completo porque cualquier función periódica se puede aproximar arbitrariamente bien mediante una suma de senos y cosenos (serie de Fourier). En otras palabras, no existe ninguna función no nula en L2(I,K)L_2(I, \mathbb{K}) que sea ortogonal a todos los senos y cosenos, lo que implica que el sistema ortonormal es completo.

💡Nota

El sistema ortonormal anterior es el más utilizado y la serie de Fourier de una función ff respecto a dicho sistema se llama simplemente serie de Fourier de ff y se representa como:

f(t)∼a02+∑n=1∞[ancos⁡nt+bnsin⁡nt]\begin{align*} f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left[a_n \cos nt + b_n \sin nt\right] \end{align*}

donde los ana_n de la serie se obtienen por identificación con los cnc_n aplicando ortogonalidad, es decir:

Sk(t)=c02π+∑n=1k[C2n−1cos⁡ntπ+C2nsin⁡ntπ]=a02+∑n=1k[ancos⁡nt+bnsin⁡nt]\begin{align*} S_k(t) = \frac{c_0}{\sqrt{2\pi}} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{k} \left[ C_{2n - 1} \frac{\cos nt}{\sqrt{\pi}} + C_{2n} \frac{\sin nt}{\sqrt{\pi}} \right] = \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{k} \left[a_n \cos nt + b_n \sin nt\right] \end{align*}

luego, para la gente que no sabe teoría de la medida:

an=1π∫02πf(t)cos⁡nt dtbn=1π∫02πf(t)sin⁡nt dt\begin{align*} a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos nt \, dt \qquad b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin nt \, dt \end{align*}

✏️Ejemplo

Sea la función escalón dada por:

f(t)={0 si x∈[0,π)1 si x∈[π,2π)\begin{align*} f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } x \in [0, \pi)\\ 1 & \text{ si } x \in [\pi, 2\pi) \end{array} \right. \end{align*}

Que se puede representar gráficamente como:

TikZ Graph

Los coeficientes de Fourier son:

an={1 si n=00 si n≥1bn={−2nπ si n es impar0 si n es par\begin{align*} a_n = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ si } n = 0\\[1ex] 0 & \text{ si } n \geq 1 \end{array} \right. \qquad b_n = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{2}{n\pi} & \text{ si } n \text{ es impar}\\[1ex] 0 & \text{ si } n \text{ es par} \end{array} \right. \end{align*}

Luego la serie de Fourier de ff es:

f(t)∼12−2π∑k=0∞sin⁡((2k+1)t)(2k+1)=12−2π[sin⁡x+sin⁡3x3+sin⁡5x5+…]\begin{align*} f(t) \sim \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\sin \left((2k + 1)t\right)}{(2k + 1)} = \frac{1}{2} - \frac{2}{\pi} \left[\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \ldots \right] \end{align*}

Notar que la serie de Fourier converge a ff en norma L2L_2 pero no puntualmente en todo [0,2π)[0, 2\pi), es decir, que si hacemos la diferencia en norma L2L_2 entre ff y la serie de Fourier, esta tiende a cero, pero si lo hacemos punto a punto, no siempre converge a f(t)f(t). Lo que tenemos gráficamente en realidad es:

TikZ Graph

Si hiciéramos aproximaciones de orden superior nos acercaríamos más a la función escalón como se puede ver a continuación para un término de orden 20:

TikZ Graph

Podemos ver que aunque aumentemos el número de términos, la serie de Fourier no converge puntualmente a f(t)f(t) en t=πt = \pi (punto de discontinuidad), sino que converge al valor medio f(π−)+f(π+)2=0+12=12\frac{f(\pi^-) + f(\pi^+)}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}. Es más, podemos ver que las oscilaciones cerca del punto de discontinuidad no desaparecen al aumentar el número de términos, simplemente se concentran en una zona más pequeña alrededor de t=πt = \pi. Este fenómeno se conoce como el fenómeno de Gibbs.

Teorema de Riesz-Fischer

Sea {φ}n⊆L2(I,K)\{\varphi\}_n \subseteq L_2(I, \mathbb{K}) sistema ortonormal completo y {Cn}n∈N⊆K\{C_n\}_{n \in \mathbb{N} \subseteq \mathbb{K}} sucesión tal que:

∑n=0∞∣Cn∣2<∞\begin{align*} \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} |C_n|^2 < \infty \end{align*}

Entonces, existe f∈L2(I,K)f \in L_2(I, \mathbb{K}) tal que:

Cn=⟨f,φn⟩∀n∈N y ∑n=0∞∣Cn∣2=∥f∥2\begin{align*} C_n = \langle f, \varphi_n\rangle \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad \text{ y } \quad \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} |C_n|^2 = \|f\|^2 \end{align*}

📐Demostración

Sea la sucesión de funciones {Sn}n=0∞\{S_n\}_{n = 0}^\infty dada por:

Sn(x)=∑k=0nCkφk(x)∀n∈N\begin{align*} S_n(x) = \displaystyle \sum_{k = 0}^{n} C_k \varphi_k(x) \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Sabemos que es de Cauchy por la demostración de la serie de Fourier, donde vimos:

∥Sp(x)−Sq(x)∥2=∑k=p+1q∣Ck∣2\begin{align*} \|S_p(x) - S_q(x)\|^2 = \displaystyle \sum_{k = p + 1}^{q} |C_k|^2 \end{align*}

Como sabemos que ∑n=0∞∣Cn∣2<∞\sum_{n = 0}^\infty |C_n|^2 < \infty entonces:

∥Sp(x)−Sq(x)∥2=∑k=p+1q∣Ck∣2→p,q→∞0\begin{align*} \|S_p(x) - S_q(x)\|^2 = \displaystyle \sum_{k = p + 1}^{q} |C_k|^2 \xrightarrow[p, q \to \infty]{} 0 \end{align*}

Ahora, como L2(I,K)L_2(I, \mathbb{K}) es completo, existe f∈L2(I,K)f \in L_2(I, \mathbb{K}) tal que:

∥f−Sn(x)∥→n→∞0\begin{align*} \|f - S_n(x)\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \end{align*}

Ahora, sea k∈Nk \in \mathbb{N} fijo, entonces para n≥kn \geq k se tiene:

⟨Sn(x),φk⟩=⟨∑j=0nCjφj,φk⟩=∑j=0nCj⟨φj,φk⟩=Ck\begin{align*} \langle S_n(x), \varphi_k\rangle & = \left\langle \displaystyle \sum_{j = 0}^{n} C_j \varphi_j, \varphi_k \right\rangle = \displaystyle \sum_{j = 0}^{n} C_j \langle \varphi_j, \varphi_k \rangle = C_k \end{align*}

por ortonormalidad del sistema. Entonces:

∣Ck−⟨f,φk⟩∣=n≥k∣⟨Sn(x),φk⟩−⟨f,φk⟩∣=∣⟨Sn(x)−f,φk⟩∣≤Cauchy-Schwarz≤∥Sn(x)−f∥⋅∥φk∥⏟=1=∥Sn(x)−f∥→n→∞0\begin{align*} |C_k - \langle f, \varphi_k\rangle| & \xlongequal[n \geq k]{} |\langle S_n(x), \varphi_k\rangle - \langle f, \varphi_k\rangle| = |\langle S_n(x) - f, \varphi_k\rangle| \overset{\text{Cauchy-Schwarz}}{\leq} \\[2ex] & \leq \|S_n(x) - f\| \cdot \underbrace{\|\varphi_k\|}_{ = 1} = \|S_n(x) - f\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \end{align*}

Por tanto, Ck=⟨f,φk⟩C_k = \langle f, \varphi_k\rangle para todo k∈Nk \in \mathbb{N}.

Ahora, como el sistema es completo, por la Identidad de Parseval tenemos que:

∥f∥2=∑n=0∞∣⟨f,φn⟩∣2=∑n=0∞∣Cn∣2\begin{align*} \|f\|^2 = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} |\langle f, \varphi_n\rangle|^2 = \displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} |C_n|^2 \end{align*}

Núcleo de Dirichlet. Lema

Sea f∈L2([0,2π],K)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{K}) tal que extendida con periodo 2π2\pi a R\mathbb{R} entonces la suma parcial nn-ésima de Fourier de ff satisface:

Sn(x)=a02+∑k=1nakcos⁡kx+bksin⁡kx=1π∫0π(f(x+t)+f(x−t))Dn(t) dt\begin{align*} S_n(x) = \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left(f(x + t) + f(x - t)\right) D_n(t) \, dt \end{align*}

donde la función Dn(t)D_n(t) viene dada por:

Dn(t)={sin⁡[(n+12)t]2sin⁡(t2) en otro caso0 si t=2πn\begin{align*} D_n(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin \left[(n + \frac{1}{2})t\right]}{2\sin \left(\frac{t}{2}\right)} & \text{ en otro caso}\\ 0 & \text{ si } t = 2\pi n \end{array} \right. \end{align*}

💡Nota

En otras palabras, la suma parcial de Fourier de ff es una media ponderada de valores de ff alrededor de un punto xx con un peso DnD_n que se concentra alrededor de t=0t = 0 a medida que nn aumenta.

📐Demostración

Por la definición de los coeficientes de Fourier dados en el sistema ortonormal de senos y cosenos, tenemos:

Sn(x)=12π∫02πf(t)dt+1π∑k=1n[cos⁡kx∫02πf(t)cos⁡kt dt+sin⁡kx∫02πf(t)sin⁡kt dt]==1π∫02πf(t)[12+∑k=1n(cos⁡kxcos⁡kt+sin⁡kxsin⁡kt)]dt==1π∫02πf(t)[12+∑k=1ncos⁡k(x−t)]dt\begin{align*} S_n(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) dt + \frac{1}{\pi} \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \left[\cos kx \int_0^{2\pi} f(t) \cos kt \, dt + \sin kx \int_0^{2\pi} f(t) \sin kt \, dt\right] = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \left[\frac{1}{2} + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \left(\cos kx \cos kt + \sin kx \sin kt\right)\right] dt = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \left[\frac{1}{2} + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \cos k(x - t)\right] dt \end{align*}

Ahora, podemos simplificar la expresión entre corchetes (el núcleo). Definimos u=x−tu = x - t y buscamos una fórmula cerrada para:

Dn(u)=12+∑k=1ncos⁡(ku)\begin{align*} D_n(u) = \frac{1}{2} + \sum_{k = 1}^{n} \cos (ku) \end{align*}

Multiplicamos ambos lados por 2sin⁡(u2)2 \sin \left(\frac{u}{2}\right):

2sin⁡(u2)Dn(u)=sin⁡(u2)+∑k=1n2cos⁡(ku)sin⁡(u2)==sin⁡(u2)+∑k=1n[sin⁡((k+12)u)−sin⁡((k−12)u)]\begin{align*} 2 \sin \left(\frac{u}{2}\right) D_n(u) & = \sin \left(\frac{u}{2}\right) + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} 2 \cos (ku) \sin \left(\frac{u}{2}\right) = \\[2ex] & = \sin \left(\frac{u}{2}\right) + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \left[\sin \left(\left(k + \frac{1}{2}\right)u\right) - \sin \left(\left(k - \frac{1}{2}\right)u\right)\right] \end{align*}

Que es una suma telescópica, por lo que todos los términos intermedios se cancelan, quedando:

2sin⁡(u2)Dn(u)=sin⁡(u2)+[sin⁡((n+12)u)−sin⁡(u2)]=sin⁡((n+12)u)\begin{align*} 2 \sin \left(\frac{u}{2}\right) D_n(u) & = \sin \left(\frac{u}{2}\right) + \left[\sin \left(\left(n + \frac{1}{2}\right)u\right) - \sin \left(\frac{u}{2}\right)\right] = \sin \left(\left(n + \frac{1}{2}\right)u\right) \end{align*}

Así, despejando Dn(u)D_n(u) para u≠0u \neq 0:

Dn(u)=sin⁡[(n+12)u]2sin⁡(u2)\begin{align*} D_n(u) & = \frac{\sin \left[\left(n + \frac{1}{2}\right)u\right]}{2 \sin \left(\frac{u}{2}\right)} \end{align*}

Ahora, volviendo a la expresión de Sn(x)S_n(x):

Sn(x)=1π∫02πf(t)Dn(x−t) dt=1π∫02πf(t)sin⁡[(n+12)(x−t)]2sin⁡(12(x−t)) dt\begin{align*} S_n(x) & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) D_n(x - t) \, dt = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \frac{\sin \left[\left(n + \frac{1}{2}\right)(x - t)\right]}{2 \sin \left(\frac{1}{2}(x - t)\right)} \, dt \end{align*}

Haciendo el cambio de variable t=x−ut = x - u:

Sn(x)=1π∫xx+2πf(x−u)Dn(u) du=1π∫02πf(x−u)Dn(u) du==1π[∫0πf(x−u)Dn(u) du+∫π2πf(x−u)Dn(u) du]==1π[∫0πf(x−u)Dn(u) du+∫0πf(x+v)Dn(v) dv]==1π∫0π(f(x+t)+f(x−t))Dn(t) dt\begin{align*} S_n(x)& = \frac{1}{\pi} \int_{x}^{x + 2\pi} f(x - u)D_n(u) \, du = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x - u) D_n(u) \, du = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \left[\int_0^{\pi} f(x - u) D_n(u) \, du + \int_{\pi}^{2\pi} f(x - u) D_n(u) \, du\right] = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \left[\int_0^{\pi} f(x - u) D_n(u) \, du + \int_0^{\pi} f(x + v) D_n(v) \, dv\right] = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \left(f(x + t) + f(x - t)\right) D_n(t) \, dt \end{align*}

Lema de Riemann-Lebesgue

Sea f∈L1(J,R)f \in L_1(J, \mathbb{R}) con JJ intervalo compacto real entonces:

lim⁡α→∞∫Jf(t)sin⁡(αt+β) dt=0 con β∈R\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \int_J f(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt = 0 \quad \text{ con } \beta \in \mathbb{R} \end{align*}

📐Demostración

Veamos primero el caso f=I[c,d]f = I_[c, d].

Sea ε>0\varepsilon > 0 fijo y ff la función característica del intervalo compacto [c,d]⊆J[c, d] \subseteq J, i.e.:

f:J⟶Rt⟼f(t)={1 si x∈[c,d]0 si x∈J∖[c,d]\begin{align*} f : J & \longrightarrow \mathbb{R}\\ t & \longmapsto f(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ si } x \in [c, d]\\ 0 & \text{ si } x \in J \setminus [c, d] \end{array} \right. \end{align*}

Por lo tanto:

lim⁡α→∞∫Jf(t)sin⁡(αt+β) dt=lim⁡α→∞∫cd1⋅sin⁡(αt+β) dt==lim⁡α→∞cos⁡(αc+β)−cos⁡(αd+β)α\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \int_J f(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt & = \lim_{\alpha \to \infty} \int_c^d 1 \cdot \sin(\alpha t + \beta) \, dt =\\[2ex] & = \lim_{\alpha \to \infty} \dfrac{\cos (\alpha c + \beta) - \cos (\alpha d + \beta)}{\alpha} \end{align*}

Notamos que:

∣cos⁡(αc+β)−cos⁡(αd+β)α∣≤∣cos⁡(αc+β)∣+∣cos⁡(αd+β)∣α≤2α→α→∞0\begin{align*} \left|\dfrac{\cos (\alpha c + \beta) - \cos (\alpha d + \beta)}{\alpha}\right| \leq \dfrac{|\cos (\alpha c + \beta)| + |\cos (\alpha d + \beta)|}{\alpha} \leq \dfrac{2}{\alpha} \xrightarrow[\alpha \to \infty]{} 0 \end{align*}

Por lo tanto, el resultado es cierto para este tipo de funciones.

Ahora veamos el caso general f∈L1(J,R)f \in L_1(J, \mathbb{R}).

💡Nota

Emplearemos el resultado auxiliar: Sea f∈L1([a,b],R)f \in L_1([a, b], \mathbb{R}) y ε>0\varepsilon > 0 entonces ∃g∈L1([a,b],R)\exists g \in L_1([a, b], \mathbb{R}) y s:[a,b]→Rs: [a, b] \to \mathbb{R} combinación lineal de funciones características sobre intervalos compactos en [a,b][a, b] tales que:

f=g+s y ∫ab∣g(x)∣ dx<ε\begin{align*} f = g + s \quad \text{ y } \quad \int_a^b |g(x)| \, dx < \varepsilon \end{align*}

Sea ε1=ε2\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{2} entonces existe g∈L1(J,R)g \in L_1(J, \mathbb{R}) y s:J→Rs: J \to \mathbb{R} combinación lineal de funciones características sobre intervalos compactos en JJ tales que:

f=g+s y ∫J∣g(t)∣ dt<ε2\begin{align*} f = g + s \quad \text{ y } \quad \int_J |g(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{2} \end{align*}

Además, sabemos que por el caso particular visto anteriormente:

lim⁡α→∞∫Js(t)sin⁡(αt+β) dt=0\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \int_J s(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt = 0 \end{align*}

Entonces, para ε2=ε2\varepsilon_2 = \frac{\varepsilon}{2} existe M∈RM \in \mathbb{R} tal que ∀α≥M\forall \alpha \geq M se tiene:

∣∫Js(t)sin⁡(αt+β) dt∣<ε2\begin{align*} \left| \int_J s(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt \right| < \frac{\varepsilon}{2} \end{align*}

Por tanto, para cualquier α≥M\alpha \geq M:

∣∫Jf(t)sin⁡(αt+β) dt∣≤∣∫J[f(t)−s(t)]sin⁡(αt+β) dt∣+∣∫Js(t)sin⁡(αt+β) dt∣≤≤∫J∣f(t)−s(t)∣⋅∣sin⁡(αt+β)∣ dt+∣∫Js(t)sin⁡(αt+β) dt∣≤≤∫J∣f(t)−s(t)∣⏟∣g(t)∣ dt+∣∫Js(t)sin⁡(αt+β) dt∣<ε2+ε2=ε\begin{align*} \left|\int_J f(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt \right| & \leq \left|\int_J \left[f(t) - s(t)\right] \sin (\alpha t + \beta) \, dt\right| + \left|\int_J s(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt\right| \leq \\[2ex] & \leq \int_J |f(t) - s(t) | \cdot |\sin (\alpha t + \beta)| \, dt + \left|\int_J s(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt\right| \leq \\[2ex] & \leq \int_J \underbrace{|f(t) - s(t)|}_{|g(t)|} \, dt + \left|\int_J s(t) \sin (\alpha t + \beta) \, dt\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*}

Variación de una función. Definición

Sea f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb{R} función y P={a=x0<x1<…<xn=b}P = \{a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b\} una partición cualquiera de [a,b][a, b] entonces la variación de ff en [a,b][a, b] respecto a la partición PP viene dada por:

Vf(P)=∑i=1n∣f(xi)−f(xi−1)∣\begin{align*} V_f(P) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} |f(x_i) - f(x_{i - 1})| \end{align*}

Variación acotada. Definición

Se dice que una función f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb{R} es de variación acotada en [a,b][a, b] si:

Vf(a,b)=sup⁡P{∑i=1n∣f(xi)−f(xi−1)∣}<∞\begin{align*} V_f(a, b) = \sup_{P} \left\{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} |f(x_i) - f(x_{i - 1})| \right\} < \infty \end{align*}

Teorema de localización de Riemann. Teorema

Sea f∈L1([0,2π],R)f \in L_1([0, 2\pi], \mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica entonces la serie de Fourier de ff converge en xx si y solo si ∃δ∈(0,π)\exists \delta \in (0, \pi) tal que:

∃lim⁡n→∞2π∫0δf(x+t)+f(x−t)2⋅sin⁡((n+12)t)t dt\begin{align*} \exists \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta \frac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \cdot \frac{\sin \left(\left(n + \frac{1}{2}\right)t\right)}{t} \, dt \end{align*}

en cuyo caso la serie converge en xx al valor de ese límite.

📐Demostración

Dado x∈Rx \in \mathbb{R}, por el Lema del núcleo de Dirichlet sabemos que la suma parcial nn-ésima de Fourier de ff viene dada por:

Sn(x)=1π∫0π[f(x+t)+f(x−t)]Dn(t) dt==1π∫0π[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t)2sin⁡t2 dt==1π∫0π[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t)t⋅t2sin⁡t2 dt==1π∫0π[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t)t⋅[1+(t2sin⁡t2−1)] dt==1π∫0π[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t)t dt++1π∫0π(12sin⁡t2−1t)[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t) dt⏟Rn(x)\begin{align*} S_n(x) & = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[f(x + t) + f(x - t)\right] D_n(t) \, dt = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \, dt = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)}{t} \cdot \frac{t}{2 \sin \frac{t}{2}} \, dt = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)}{t} \cdot \left[1 + \left(\frac{t}{2 \sin \frac{t}{2}} - 1\right)\right] \, dt = \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)}{t} \, dt + \\[2ex] & + \underbrace{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left(\frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}} - \frac{1}{t}\right)\left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)\, dt}_{R_n(x)} \end{align*}

Veamos que Rn(x)→n→∞0R_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{} 0.

  • Como f∈L1([0,2π],R)f \in L_1([0, 2\pi], \mathbb{R}) y es 2π2\pi-periódica, entonces:
f(x+t) y f(x−t) son L1([0,2π],R)\begin{align*} f(x + t) \quad \text{ y } \quad f(x - t) \qquad \text{ son } L_1([0, 2\pi], \mathbb{R}) \end{align*}
  • 12sin⁡t2−1t\frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}} - \frac{1}{t} definida como 00 en t=0t = 0, es de variación acotada en [0,π][0, \pi] entonces:
12sin⁡t2−1t∈L1([0,π],R)\begin{align*} \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}} - \frac{1}{t} \in L_1([0, \pi], \mathbb{R}) \end{align*}

Así, tenemos que:

(12sin⁡t2−1t)[f(x+t)+f(x−t)]∈L1([0,π],R)\begin{align*} \left(\frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}} - \frac{1}{t}\right)\left[f(x + t) + f(x - t)\right] \in L_1([0, \pi], \mathbb{R}) \end{align*}

Y por el Lema de Riemann-Lebesgue:

lim⁡n→∞Rn(x)=lim⁡n→∞1π∫0π(12sin⁡t2−1t)[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t) dt=0\begin{align*} \lim_{n \to \infty} R_n(x) & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left(\frac{1}{2 \sin \frac{t}{2}} - \frac{1}{t}\right)\left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \sin \left((n + \frac{1}{2})t\right) \, dt = 0 \end{align*}

Ahora, el problema se reduce a estudiar el límite:

lim⁡n→∞Sn(x)=lim⁡n→∞1π∫0π[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t)t dt⏟a(t)+lim⁡n→∞Rn(x)\begin{align*} \lim_{n \to \infty} S_n(x) & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \underbrace{\left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin ((n + \frac{1}{2})t)}{t} \, dt}_{a(t)} + \bcancel{\lim_{n \to \infty} R_n(x)} \end{align*}

Sea 0<δ<π0 < \delta < \pi entonces, separamos la integral en dos partes:

lim⁡n→∞Sn(x)=lim⁡n→∞1π∫0δa(t) dt+lim⁡n→∞1π∫δπa(t) dt\begin{align*} \lim_{n \to \infty} S_n(x) & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\delta a(t) \, dt + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_\delta^\pi a(t) \, dt \end{align*}

Y como en a(t)a(t) tenemos que:

[f(x+t)+f(x−t)]⋅1t∈L1([δ,π],R)\begin{align*} [f(x + t) + f(x - t)] \cdot \frac{1}{t} \in L_1([\delta, \pi], \mathbb{R}) \end{align*}

ya que ff es L1L_1 y 1t\frac{1}{t} es acotada en [δ,π][\delta, \pi] entonces, por el Lema de Riemann-Lebesgue:

lim⁡n→∞Sn(x)=lim⁡n→∞1π∫0δa(t) dt+0\begin{align*} \lim_{n \to \infty} S_n(x) & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\delta a(t) \, dt + 0 \end{align*}

Por tanto, si reescribimos lo que queda ya en SnS_n tenemos:

lim⁡n→∞Sn(x)=lim⁡n→∞1π∫0δa(t) dt+lim⁡n→∞1π∫δπa(t) dt==lim⁡n→∞1π∫0δ[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t)t dt⏟a(t)==lim⁡n→∞2π∫0δf(x+t)+f(x−t)2⋅sin⁡((n+12)t)t dt\begin{align*} \lim_{n \to \infty} S_n(x) & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\delta a(t) \, dt + \bcancel{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_\delta^\pi a(t) \, dt} = \\[2ex] & = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\delta \underbrace{\left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)}{t} \, dt}_{a(t)} = \\[2ex] & = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta \frac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \cdot \frac{\sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)}{t} \, dt \end{align*}

💡Nota

En otras palabras, lo que quiere decir el teorema es que la convergencia de la serie de Fourier en un punto xx depende únicamente del comportamiento de la función ff en un entorno arbitrariamente pequeño alrededor de xx. Si podemos controlar el límite dado en el teorema para algún δ>0\delta > 0, entonces la serie de Fourier converge en ese punto xx.

Teorema de Jordan. Teorema

Sea g:[0,δ]→Rg: [0, \delta] \to \mathbb{R} función de variación acotada entonces:

lim⁡α→∞2π∫0δg(t)⋅sin⁡(αt)t dt=g(0+)=lim⁡t→0+g(t)\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta g(t) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = g(0^+ ) = \lim_{t \to 0^+} g(t) \end{align*}

💡Nota

En otras palabras, lo que nos dice el teorema es que si gg no oscila demasiado cerca de 00, entonces la integral ponderada por sin⁡(αt)t\frac{\sin (\alpha t)}{t} (que se concentra alrededor de t=0t = 0 a medida que α\alpha aumenta) solo ``captura'' el valor de gg en 0+0^+.

📐Demostración

No se da.

Condición de Jordan. Teorema

Sea f∈L1([0,2π],R)f \in L_1([0, 2\pi], \mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica de variación acotada en [x−ε,x+ε][x - \varepsilon, x + \varepsilon] para algún ε>0\varepsilon > 0 entonces la serie de Fourier de ff converge en xx al valor:

lim⁡t→0+f(x+t)+f(x−t)2\begin{align*} \lim_{t \to 0^ + } \frac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \end{align*}

📐Demostración

Definimos la función g1(t):−f(x+t)g_1(t) \coloneq f(x + t) para x∈Rx \in \mathbb{R} fijo. Entonces, como por hipótesis ff es de variación acotada en [x−ε,x+ε][x - \varepsilon, x + \varepsilon] con ε>0\varepsilon > 0 entonces:

g1(t) de variacioˊn acotada en [−ε,ε]  ⟹  g1(t) de variacioˊn acotada en [0,ε]\begin{align*} g_1(t) \text{ de variación acotada en } [ - \varepsilon, \varepsilon] \implies g_1(t) \text{ de variación acotada en } [0, \varepsilon] \end{align*}

Ahora, aplicando el Teorema de Jordan:

lim⁡α→∞2π∫0εf(x+t)⋅sin⁡(αt)t dt=lim⁡t→0+g1(t)=lim⁡t→0+f(x+t)\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\varepsilon f(x + t) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = \lim_{t \to 0^+} g_1(t) = \lim_{t \to 0^+} f(x + t) \end{align*}

Análogamente, aplicando el mismo razonamiento para la función g2(t):−f(x−t)g_2(t) \coloneq f(x - t) se tiene que:

lim⁡α→∞2π∫0εf(x−t)⋅sin⁡(αt)t dt=lim⁡t→0+g2(t)=lim⁡t→0+f(x−t)\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\varepsilon f(x - t) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = \lim_{t \to 0^+} g_2(t) = \lim_{t \to 0^+} f(x - t) \end{align*}

Sumando ambas expresiones y dividiendo entre 22 obtenemos:

L=lim⁡α→∞1π∫0ε[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡(αt)t dt=lim⁡t→0+f(x+t)+f(x−t)2\begin{align*} L & = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\varepsilon \left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \end{align*}

Y, por el Teorema de localización de Riemann:

lim⁡n→∞1π∫0ε[f(x+t)+f(x−t)]⋅sin⁡((n+12)t)t dt=lim⁡n→∞Sn(x)\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_0^\varepsilon \left[f(x + t) + f(x - t)\right] \cdot \frac{\sin \left((n + \frac{1}{2})t\right)}{t} \, dt = \lim_{n \to \infty} S_n(x) \end{align*}

Por tanto, la serie de Fourier de ff converge en xx al valor:

lim⁡n→∞Sn(x)=lim⁡t→0+f(x+t)+f(x−t)2\begin{align*} \lim_{n \to \infty} S_n(x) & = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \end{align*}

💡Nota

En otras palabras, lo que tenemos es que si una función ff no oscila demasiado cerca de un punto, entonces su serie de Fourier converge en ese punto al valor medio de los límites laterales de ff en ese punto. Por tanto:

  • Si ff es continua en xx entonces la serie de Fourier converge a f(x)f(x).
  • Si ff tiene un salto en xx entonces la serie de Fourier converge al valor medio entre los dos lados del salto.

Teorema de Dini. Teorema

Sea g:[a,b]→Rg: [a, b] \to \mathbb{R} función tal que:

∃lim⁡t→0+g(t)=g(0+)\begin{align*} \exists \lim_{t \to 0^ + } g(t) = g(0^ + ) \end{align*}

Si ∃δ∈(0,b)\exists \delta \in (0, b) tal que g(t)−g(0+)t∈L1([0,δ],R)\frac{g(t) - g(0^ + )}{t} \in L_1([0, \delta], \mathbb{R}) entonces:

lim⁡α→∞2π∫0δg(t)⋅sin⁡(αt)t dt=g(0+)\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta g(t) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = g(0^ + ) \end{align*}

📐Demostración

Supongamos que ∃δ>0\exists \delta > 0 tal que g(t)−g(0+)t∈L1([0,δ],R)\frac{g(t) - g(0^ + )}{t} \in L_1([0, \delta], \mathbb{R}) entonces:

lim⁡α→∞2π∫0δg(t)⋅sin⁡(αt)t dt=lim⁡α→∞2π∫0δ[g(0+)+(g(t)−g(0+))]⋅sin⁡(αt)t dt==lim⁡α→∞2π∫0δg(0+)⋅sin⁡(αt)t dt+lim⁡α→∞2π∫0δ(g(t)−g(0+))⋅sin⁡(αt)t dt\begin{align*} & \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta g(t) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta \left[g(0^ + ) + \left(g(t) - g(0^ + )\right)\right] \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = \\[2ex] & = \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta g(0^ + ) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt + \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta \left(g(t) - g(0^ + )\right) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt \end{align*}

Por hipótesis g(t)−g(0+)t∈L1([0,δ],R)\frac{g(t) - g(0^ + )}{t} \in L_1([0, \delta], \mathbb{R}) entonces, por el Lema de Riemann-Lebesgue:

lim⁡α→∞2π∫0δ(g(t)−g(0+))⋅sin⁡(αt)t dt=0\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta \left(g(t) - g(0^ + )\right) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = 0 \end{align*}

Por otro lado, tenemos que:

lim⁡α→∞2π∫0δg(0+)⋅sin⁡(αt)t dt=2πg(0+)lim⁡α→∞∫0δsin⁡(αt)t dt=dt=dt~αt~=αt=2πg(0+)lim⁡α→∞∫0αδsin⁡(t~)t~ dt~=2πg(0+)⋅π2=g(0+)\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta g(0^ + ) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt & = \frac{2}{\pi} g(0^ + ) \lim_{\alpha \to \infty} \int_0^{\delta} \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt \xlongequal[dt = \frac{d\tilde{t}}{\alpha}]{\tilde{t} = \alpha t} \\[2ex] & = \frac{2}{\pi} g(0^ + ) \lim_{\alpha \to \infty} \int_0^{\alpha \delta} \frac{\sin (\tilde{t})}{\tilde{t}} \, d\tilde{t} = \frac{2}{\pi} g(0^ + ) \cdot \frac{\pi}{2} = g(0^ + ) \end{align*}

Por tanto, volviendo a la tenemos que:

lim⁡α→∞2π∫0δg(t)⋅sin⁡(αt)t dt=g(0+)+0=g(0+)\begin{align*} \lim_{\alpha \to \infty} \frac{2}{\pi} \int_0^\delta g(t) \cdot \frac{\sin (\alpha t)}{t} \, dt = g(0^ + ) + 0 = g(0^ + ) \end{align*}

Condición de Dini. Teorema

Sea f∈L1([0,2π],R)f \in L_1([0, 2\pi], \mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica y g(t)=f(x+t)+f(x−t)2g(t) = \dfrac{f(x + t) + f(x - t)}{2} para x∈Rx \in \mathbb{R} fijo y:

  • ∃g(0+)=lim⁡t→0+g(t)\exists g(0^ + ) = \lim_{t \to 0^ + } g(t)
  • ∃δ∈(0,π)\exists \delta \in (0, \pi) tal que g(t)−g(0+)t∈L1([0,δ],R)\frac{g(t) - g(0^ + )}{t} \in L_1([0, \delta], \mathbb{R})

entonces la serie de Fourier de ff converge en xx al valor:

lim⁡t→0+f(x+t)+f(x−t)2\begin{align*} \lim_{t \to 0^ + } \frac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \end{align*}

💡Nota

Podemos notar que este resultado es una generalización del Teorema de la condición de Jordan, ya que lo que hace es relajar la condición de variación acotada en un entorno de xx por una condición más débil relacionada con la integrabilidad de una función derivada. De hecho, podemos notar que toda función gg de variación acotada cumple la condición de Dini, es decir:

g(t)−g(0+)t∈L1([0,δ],R)\begin{align*} \frac{g(t) - g(0^ + )}{t} \in L_1([0, \delta], \mathbb{R}) \end{align*}

Así, el Teorema de la condición de Dini puede funcionar cuando gg puede oscilar mucho pero esas oscilación son integrables cuando se miran cerca de 00.

📐Demostración

La demostración es análoga a la del Teorema de la condición de Jordan, pero empleando el Teorema de Dini en lugar del Teorema de Jordan.

💡Nota

Es importante notar que la continuidad de una función no implica necesariamente que la serie de Fourier converja a f(x)f(x).

✏️Ejemplo

No es suficiente con que una función esté acotada en un entorno de xx para que su serie de Fourier converja en xx.

Consideremos la función dada por:

f(x)={sin⁡(1x) si x∈(0,π]0 si x=0\begin{align*} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{ si } x \in (0, \pi]\\ 0 & \text{ si } x = 0 \end{array} \right. \end{align*}

Aunque la función es acotada en [−δ,δ][-\delta, \delta] para cualquier δ>0\delta > 0 (ya que ∣f(x)∣≤1|f(x)| \leq 1 para todo xx), no podemos garantizar que la serie de Fourier de ff converja en x=0x = 0. Esto se debe a que oscila infinitamente rápido cerca de 00, y el límite requerido en el Teorema de localización de Riemann no existe. De hecho, podemos notar que:

  • Falla Jordan: La función no es de variación acotada, el número de oscilaciones en cualquier intervalo alrededor de 00 es infinito.
  • Falla Dini: La función f(t)−f(0+)t=sin⁡(1t)t\frac{f(t) - f(0^ + )}{t} = \frac{\sin \left(\frac{1}{t}\right)}{t} no es integrable en (0,δ](0, \delta] para ningún δ>0\delta > 0 debido a las oscilaciones infinitas cerca de 00.

Por tanto, la mera acotación de una función en un entorno de un punto no garantiza la convergencia de su serie de Fourier en ese punto. Así, vemos la importancia de las condiciones adicionales impuestas por los teoremas de Jordan y Dini para asegurar la convergencia de la serie de Fourier. Podemos ilustrar gráficamente este comportamiento:

TikZ Graph

Si vamos ``haciendo zoom'' progresivamente cerca de 00:

TikZ Graph

TikZ Graph

Teorema de Carleson. Teorema

Sea f∈L2([0,2π],R)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{R}) entonces la serie de Fourier de ff converge a f(x)f(x) μ\mu-a.e.

💡Nota

La continuidad no basta para garantizar la convergencia puntual de la serie de Fourier en todos los puntos. Sin embargo, el Teorema de Carleson nos asegura que para funciones en L2L_2, la serie de Fourier converge casi en todas partes (excepto en un conjunto de medida cero). Esto significa que, aunque pueda haber puntos donde la serie no converge, estos puntos son excepcionales y no afectan significativamente el comportamiento general de la función.

✏️Ejercicio

Sea la función f(x)=xf(x) = x en [0,2π)[0, 2\pi) extendida periódicamente a R\mathbb{R}. Calcula su serie de Fourier y estudia su convergencia puntual.

Primero, podemos notar que esta función extendida periódicamente se puede representar como:

TikZ Graph

Como vimos en un ejemplo previo, la serie de Fourier de esta función es:

f(x)∼a02+∑n=1∞[ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx)]\begin{align*} f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} \left[a_n \cos (nx) + b_n \sin (nx)\right] \end{align*}

Donde los coeficientes ana_n y bnb_n se calculan como:

a0=1π∫02πf(x) dx=1π∫02πx dx=1π[x22]02π=2π2π=2πan=1π∫02πf(x)cos⁡(nx) dx=dv=cos⁡(nx)⇒v=sin⁡(nx)nu=x⇒du=dx=1π[xsin⁡(nx)n]02π−1π∫02πsin⁡(nx)n dx==0−1πn[−cos⁡(nx)n]02π=1πn2[cos⁡(0)−cos⁡(2πn)]=0bn=1π∫02πf(x)sin⁡(nx) dx=dv=sin⁡(nx)⇒v=−cos⁡(nx)nu=x⇒du=dx=1π[−xcos⁡(nx)n]02π+1nπ∫02πcos⁡(nx) dx==−2πcos⁡(2πn)nπ+1nπ[sin⁡(nx)n]02π=−2n+0=−2n\begin{align*} a_0 & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} x \, dx = \frac{1}{\pi} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{2\pi} = \frac{2\pi^2}{\pi} = 2\pi\\[6ex] a_n & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \cos (nx) \, dx \xlongequal[dv = \cos (nx) \Rightarrow v = \frac{\sin (nx)}{n}]{u = x \Rightarrow du = dx} \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \left[\frac{x \sin (nx)}{n}\right]_0^{2\pi} - \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\sin (nx)}{n} \, dx = \\[2ex] & = 0 - \frac{1}{\pi n} \left[-\frac{\cos (nx)}{n}\right]_0^{2\pi} = \frac{1}{\pi n^2} \left[\cos (0) - \cos (2\pi n)\right] = 0 \\[6ex] b_n & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin (nx) \, dx \xlongequal[dv = \sin (nx) \Rightarrow v = -\frac{\cos (nx)}{n}]{u = x \Rightarrow du = dx} \\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \left[-\frac{x \cos (nx)}{n}\right]_0^{2\pi} + \frac{1}{n\pi} \int_0^{2\pi} \cos (nx) \, dx = \\[2ex] & = -\frac{2\pi \cos (2\pi n)}{n\pi} + \frac{1}{n\pi} \left[\frac{\sin (nx)}{n}\right]_0^{2\pi} = -\frac{2}{n} + 0 = -\frac{2}{n} \end{align*}

Así, la serie de Fourier de ff es:

f(x)∼π−2∑n=1∞sin⁡(nx)n\begin{align*} f(x) \sim \pi - 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{n} \end{align*}

Ahora, veamos las condiciones de convergencia puntual:

  • Condición de Jordan:

  • Condición de Dini: Consideramos la función:

g(t)=f(x+t)+f(x−t)2 con x∈[0,2π]\begin{align*} g(t) = \frac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \quad \text{ con } x \in [0, 2\pi] \end{align*}
  • Si x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) entonces:
g(t)=(x+t)+(x−t)2=x\begin{align*} g(t) = \frac{(x + t) + (x - t)}{2} = x \end{align*}

Por tanto, ∃g(0+)=x\exists g(0^ + ) = x y:

g(t)−g(0+)t=x−xt=0∈L1([0,δ],R) para cierto δ>0\begin{align*} \frac{g(t) - g(0^ + )}{t} = \frac{x - x}{t} = 0 \in L_1([0, \delta], \mathbb{R}) \quad \text{ para cierto } \delta > 0 \end{align*}

Así, la serie de Fourier de ff converge ∀x∈(0,2π)\forall x \in (0, 2\pi) y lo hace al valor:

g(0+)=x=f(x)\begin{align*} g(0^ + ) = x = f(x) \end{align*}
  • Si x=0x = 0 entonces:
g(t)=(0+t)+(2π−t)2=2π2=π\begin{align*} g(t) = \frac{(0 + t) + (2\pi - t)}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi \end{align*}

Por tanto, ∃g(0+)=π\exists g(0^ + ) = \pi y:

g(t)−g(0+)t=π−πt=0∈L1([0,δ],R) para cierto δ>0\begin{align*} \frac{g(t) - g(0^ + )}{t} = \frac{\pi - \pi}{t} = 0 \in L_1([0, \delta], \mathbb{R}) \quad \text{ para cierto } \delta > 0 \end{align*}

Así, la serie de Fourier de ff converge en x=0x = 0 y lo hace al valor:

g(0+)=π\begin{align*} g(0^ + ) = \pi \end{align*}
  • Si x=2πx = 2\pi es análogo al caso x=0x = 0 y la serie de Fourier de ff converge en x=2πx = 2\pi al valor:
g(0+)=π\begin{align*} g(0^ + ) = \pi \end{align*}

Por tanto, por el Teorema de la condición de Dini, la serie de Fourier de ff converge en todos los puntos x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] al valor:

lim⁡t→0+f(x+t)+f(x−t)2={f(x) si x∈(0,2π)π si x=0π si x=2π\begin{align*} \lim_{t \to 0^ + } \frac{f(x + t) + f(x - t)}{2} = \left\{ \begin{array}{ll} f(x) & \text{ si } x \in (0, 2\pi) \\[1ex] \pi & \text{ si } x = 0 \\[1ex] \pi & \text{ si } x = 2\pi \end{array} \right. \end{align*}

Ahora, finalmente, podríamos ver a mayores gráficamente la serie de Fourier de ff y su convergencia puntual:

TikZ Graph

Si hacemos una aproximación más precisa con más términos en la serie de Fourier, podemos observar el fenómeno de Gibbs cerca de los puntos de discontinuidad en x=0x = 0 y x=2πx = 2\pi, donde la serie de Fourier oscila alrededor del valor de convergencia π\pi antes de estabilizarse:

TikZ Graph

TikZ Graph

Sumable Cesàro. Definición

Sea {an}n∈N⊆R\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R} y {Sn}n∈N\{S_n\}_{n \in \mathbb{N}} la correspondiente sucesión de sumas parciales, es decir:

Sn=∑k=0nak∀n∈N\begin{align*} S_n = \sum_{k = 0}^{n} a_k \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Se dice que la serie ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^{\infty} a_n es sumable Cesàro o convergente Cesàro si la sucesión {σn}n∈N\{\sigma_n\}_{n \in \mathbb{N}} dada por:

σn=1n∑i=1nSi∀n∈N\begin{align*} \sigma_n = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} S_i \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

converge a un número real σ\sigma al que se llama suma Cesàro de la serie y se denota por:

σ=∑n=0∞an\begin{align*} \sigma = \sum_{n = 0}^{\infty} a_n \end{align*}

💡Nota

La idea de la convergencia Cesàro es estudiar la convergencia de una serie a través del comportamiento promedio de sus sumas parciales.

En una serie, cuando estudiamos la convergencia tradicional, nos fijamos en que las sumas parciales SnS_n se estabilicen alrededor de un número, es decir, cada término adicional corrige un poco la suma total, ``apagando'' las oscilaciones y acercándose a un valor fijo.

En la convergencia Cesàro, en lugar de observar directamente las sumas parciales SnS_n, se observa el promedio de todas las anteriores. De esta forma, no se le da todo el peso al último término, si no que se ``suavizan'' las oscilaciones.

A modo de ejemplo, consideremos la serie alternante:

∑n=0∞(−1)n=1−1+1−1+1−1+…\begin{align*} \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots \end{align*}

Las sumas parciales SnS_n son:

S0=1,S1=0,S2=1,S3=0,S4=1,S5=0,…\begin{align*} S_0 & = 1, \quad S_1 = 0, \quad S_2 = 1, \quad S_3 = 0, \quad S_4 = 1, \quad S_5 = 0, \ldots \end{align*}

Esta serie no converge en el sentido tradicional, ya que las sumas parciales oscilan entre 00 y 11. Sin embargo, si calculamos las medias de las sumas parciales:

σ1=S0=1,σ2=S0+S12=1+02=12,σ3=S0+S1+S23=1+0+13=23,σ4=S0+S1+S2+S34=1+0+1+04=12,σ5=S0+S1+S2+S3+S45=1+0+1+0+15=35\begin{align*} \sigma_1 & = S_0 = 1,\\ \sigma_2 & = \frac{S_0 + S_1}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2},\\ \sigma_3 & = \frac{S_0 + S_1 + S_2}{3} = \frac{1 + 0 + 1}{3} = \frac{2}{3},\\ \sigma_4 & = \frac{S_0 + S_1 + S_2 + S_3}{4} = \frac{1 + 0 + 1 + 0}{4} = \frac{1}{2},\\ \sigma_5 & = \frac{S_0 + S_1 + S_2 + S_3 + S_4}{5} = \frac{1 + 0 + 1 + 0 + 1}{5} = \frac{3}{5} \end{align*}

Observamos que las medias σn\sigma_n tienden a 12\frac{1}{2} a medida que nn aumenta. Por lo tanto, aunque la serie original no converge en el sentido tradicional, es sumable Cesàro con suma Cesàro igual a 12\frac{1}{2}.

Convergencia Cesàro. Teorema

Si ∑n=0∞an\sum_{n = 0}^\infty a_n converge a SS, entonces es sumable Cesàro y su suma Cesàro coincide con SS.

Teorema de Fejér. Teorema

Sea f∈L1([0,2π],R)f \in L_1([0, 2\pi], \mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica en R\mathbb{R} y se considera la función:

S(x)=lim⁡t→0+f(x+t)+f(x−t)2∀x∈A={x∈[0,2π]:S(x) estaˊ bien definida}\begin{align*} S(x) = \lim_{t \to 0^ + }\dfrac{f(x + t) + f(x - t)}{2} \quad \forall x \in A = \left\{x \in [0, 2\pi] : S(x) \text{ está bien definida}\right\} \end{align*}

Entonces se tiene:

  • La serie de Fourier de ff converge en el sentido de Cesàro a S(x)S(x). Es decir:
σn(x)→n→∞S(x)∀x∈A\begin{align*} \sigma_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{} S(x) \quad \forall x \in A \end{align*}
  • Si ff es continua en R\mathbb{R} entonces σn(x)→n→∞unifS(x)\sigma_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{unif} S(x), es decir:
∀ε>0,∃n0∈N tq ∀n≥n0,∀x∈R,∣σn(x)−S(x)∣<ε\begin{align*} \forall \varepsilon > 0, \quad \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tq } \forall n \geq n_0, \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad |\sigma_n(x) - S(x)| < \varepsilon \end{align*}

Teorema

Sea f∈C0(R)f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica entonces:

  1. ∥f−Sn∥→n→∞0\|f - S_n\| \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
  2. Se cumple la identidad de Parseval en [0,2π][0, 2\pi]:
∥f∥2=a024+∑k=1∞ak2+bk2\begin{align*} \|f\|^2 = \frac{a_0^2}{4} + \displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} a_k^2 + b_k^2 \end{align*}
  1. Si la serie de Fourier de ff converge en xx, entonces converge a f(x)f(x).
  2. La serie de Fourier de ff es integrable término a término:
∫0xf(t) dt=a02x+∑n=1∞∫0x(ancos⁡(nt)+bnsin⁡(nt)) dt\begin{align*} \int_0^x f(t) \, dt = \frac{a_0}{2} x + \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^x \left(a_n \cos (nt) + b_n \sin (nt)\right) \, dt \end{align*}

📐Demostración

  1. Obvia por el Teorema de Fejér y la Convergencia Cesàro.
  2. Se sigue de la Identidad de Parseval y del punto anterior.
  3. Supongamos que la serie de Fourier de ff converge en xx, es decir:
{Sn(x)}n∈N→n→∞S~(x)\begin{align*} \{S_n(x)\}_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \widetilde{S}(x) \end{align*}

Entonces, por la Convergencia Cesàro se tiene que:

σn(x)→n→∞S~(x)\begin{align*} \sigma_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{} \widetilde{S}(x) \end{align*}

Por el Teorema de Fejér se tiene que:

σn(x)→n→∞uniff(x)\begin{align*} \sigma_n(x) \xrightarrow[n \to \infty]{\text{unif}} f(x) \end{align*}

Es decir, la serie converge en el sentido usual y en el sentido de Cesàro al mismo valor, luego:

S~(x)=f(x)\begin{align*} \widetilde{S}(x) = f(x) \end{align*}
  1. Definimos:
F(x)=∫0xf(t) dtym=12π∫02πf(t) dt\begin{align*} F(x) = \int_0^x f(t) \, dt \qquad \text{y} \qquad m = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \, dt \end{align*}

Y consideramos la función:

g(x)=f(x)−m=f(x)−12π∫02πf(t) dt=f(t)−a02\begin{align*} g(x) = f(x) - m = f(x) - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \, dt = f(t) - \frac{a_0}{2} \end{align*}

Es claro que g(x)g(x) es continua en R\mathbb{R} y 2π2\pi-periódica ya que f(x)f(x) lo es. Además, se tiene que su serie de Fourier es:

g(x)∼∑n=1∞ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx)\begin{align*} g(x) \sim \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos (nx) + b_n \sin (nx) \end{align*}

donde an,bna_n, b_n son los coeficientes de Fourier de ff para n≥1n \geq 1.

Definiendo la función:

G(x)=∫0xg(t) dt\begin{align*} G(x) = \int_0^x g(t) \, dt \end{align*}

entonces tenemos que G∈C1(R)G \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}) y es 2π2\pi-periódica (ya que ∫02πg=0\int_0^{2\pi} g = 0), su serie de Fourier es:

G(x)∼A02+∑n=1∞Ancos⁡(nx)+Bnsin⁡(nx)\begin{align*} G(x) \sim \frac{A_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} A_n \cos (nx) + B_n \sin (nx) \end{align*}

Entonces, veamos la relación entre los An,BnA_n, B_n y los an,bna_n, b_n:

An=1π∫02πG(x)cos⁡(nx) dx=dv=cos⁡(nx)⇒v=sin⁡(nx)nu=G(x)⇒du=g(x) dx=1π[G(x)⋅sin⁡(nx)n]02π−1π∫02πg(x)⋅sin⁡(nx)n dx=0−1nπ∫02πg(x)sin⁡(nx) dx=−bnn∀n≥1\begin{align*} A_n & = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} G(x) \cos (nx) \, dx \xlongequal[dv = \cos (nx) \Rightarrow v = \frac{\sin (nx)}{n}]{u = G(x) \Rightarrow du = g(x) \, dx}\\[2ex] & = \frac{1}{\pi} \left[G(x) \cdot \frac{\sin (nx)}{n}\right]_0^{2\pi} - \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} g(x) \cdot \frac{\sin (nx)}{n} \, dx \\[2ex] & = 0 - \frac{1}{n\pi} \int_0^{2\pi} g(x) \sin (nx) \, dx = -\frac{b_n}{n} \quad \forall n \geq 1 \end{align*}

Análogamente se llega a que Bn=annB_n = \frac{a_n}{n}.

Es decir, que entonces:

F(x)=∫0xf(t)dt=mx+G(x)\begin{align*} F(x) = \int_0^x f(t) dt = mx + G(x) \end{align*}

Y la serie de Fourier de GG es:

G(x)∼A02+∑n=1∞(−bnncos⁡(nx)+annsin⁡(nx))\begin{align*} G(x) \sim \frac{A_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left(-\frac{b_n}{n} \cos (nx) + \frac{a_n}{n} \sin (nx)\right) \end{align*}

Por el Teorema de Fejér como g∈C0(R)g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}) y 2π2\pi-periódica, sabemos que:

σng(t)→n→∞unifg(t)∀t∈R  ⟹    ⟹  G(x)=∫0xg(t) dt=∫0xlim⁡n→∞σng(t) dt=lim⁡n→∞∫0xσng(t) dt\begin{align*} & \sigma_n^g(t) \xrightarrow[n \to \infty]{\text{unif}} g(t) \quad \forall t \in \mathbb{R} \implies \\[2ex] & \implies G(x) = \int_0^x g(t) \, dt = \int_0^x \lim_{n \to \infty} \sigma_n^g(t) \, dt = \lim_{n \to \infty} \int_0^x \sigma_n^g(t) \, dt \end{align*}

Como para cada n∈Nn \in \mathbb{N} se tiene que:

σng(t)=αn(0)+∑k=1nαn(k)cos⁡(kt)+βn(k)sin⁡(kt)\begin{align*} \sigma_n^g(t) = \alpha_n^{(0)} + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \alpha_n^{(k)} \cos (kt) + \beta_n^{(k)} \sin (kt) \end{align*}

Entonces:

∫0xσng(t) dt=αn(0)⏟α02+∑k=1n[αn(k)⏞akksin⁡(kt)−βn(k)⏞bkkcos⁡(kt)+βn(k)k]0x\begin{align*} \int_0^x \sigma_n^g(t) \, dt & = \underbrace{\alpha_n^{(0)}}_{\frac{\alpha_0}{2}} + \displaystyle \sum_{k = 1}^{n} \left[\dfrac{\overbrace{\alpha_n^{(k)}}^{a_k}}{k} \sin (kt) - \dfrac{\overbrace{\beta_n^{(k)}}^{b_k}}{k} \cos (kt) + \frac{\beta_n^{(k)}}{k}\right]_0^x \end{align*}

Por tanto, tomando límite cuando n→∞n \to \infty se llega a que:

lim⁡n→∞∫0xσng(t) dt=lim⁡αn(k)=aklim⁡βn(k)=bka02+∑k=1∞[akksin⁡(kt)−bkkcos⁡(kt)+bkk]0x\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \int_0^x \sigma_n^g(t) \, dt & \xlongequal[\lim \alpha_n^{(k)} = a_k]{\lim \beta_n^{(k)} = b_k} \frac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} \left[\frac{a_k}{k} \sin (kt) - \frac{b_k}{k} \cos (kt) + \frac{b_k}{k}\right]_0^x \end{align*}

Por tanto:

F(x)=α02+∑n=1∞∫0x(ancos⁡(nt)+bnsin⁡(nt)) dt\begin{align*} F(x) = \frac{\alpha_0}{2} + \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^x \left(a_n \cos (nt) + b_n \sin (nt)\right) \, dt \end{align*}

✏️Ejercicio

Para que valores de xx es válida la siguiente expresión:

x22=πx−π23+2∑n=1∞cos⁡(nx)n2\begin{align*} \frac{x^2}{2} = \pi x - \frac{\pi^2}{3} + 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (nx)}{n^2} \end{align*}

Sea f(x)=x22−πxf(x) = \frac{x^2}{2} - \pi x en [0,2π)[0, 2\pi) y extendemos periódicamente a R\mathbb{R} con periodo 2π2\pi:

TikZ Graph

Tenemos que f∈L2([0,2π],R)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{R}) y además f∈C0f \in \mathcal{C}^0. Ahora calculamos su serie de Fourier:

a0=−23π2an=2n2bn=0∀n≥1\begin{align*} a_0 = - \frac{2}{3}\pi^2 \qquad a_n = \frac{2}{n^2} \qquad b_n = 0 \quad \forall n \geq 1 \end{align*}

Por tanto, la serie de Fourier de ff es:

f(x)∼−π23+2∑n=1∞cos⁡(nx)n2\begin{align*} f(x) \sim - \frac{\pi^2}{3} + 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (nx)}{n^2} \end{align*}

Ahora, sería posible emplear tanto la Condición de Jordan como la Condición de Dini para ver la convergencia puntual de la serie de Fourier de ff en todos los puntos de R\mathbb{R} y ver que converge a f(x)f(x) en todos ellos. Pero, como f∈C0(R)f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}), podemos aplicar el Teorema de Fejér.

Como ff es continua y 2π2\pi-periódica y sabemos que:

∑n=1∞cos⁡(nx)n2<∞∀x∈R\begin{align*} \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (nx)}{n^2} < \infty \quad \forall x \in \mathbb{R} \end{align*}

Por el Teorema de Fejér la serie de Fourier de ff converge ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R} a f(x)f(x), i.e.:

f(x)=−π23+2∑n=1∞cos⁡(nx)n2∀x∈R\begin{align*} f(x) = - \frac{\pi^2}{3} + 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\cos (nx)}{n^2} \quad \forall x \in \mathbb{R} \end{align*}

Por tanto, la igualdad pedida es cierta para [0,2π][0, 2\pi], en particular, si x=0x = 0 entonces:

f(0)=0=−π23+2∑n=1∞1n2  ⟹  ∑n=1∞1n2=π26\begin{align*} f(0) = 0 = - \frac{\pi^2}{3} + 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \implies \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{align*}

✏️Ejercicio

Demostrar que x=2∑n=1∞(−1)n+1sin⁡(nx)nx = 2\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} ( - 1)^{n + 1} \frac{\sin (nx)}{n} ∀x∈(−π,π)\forall x \in (-\pi, \pi) y emplearlo para ver que:

π28=∑k=0∞1(2k+1)2\begin{align*} \frac{\pi^2}{8} = \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2k + 1)^2} \end{align*}

Sea f(x)f(x) definida en [0,2π)[0, 2\pi) como:

f(x)={x si x∈[0,π)x−2π si x∈[π,2π)\begin{align*} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & \text{ si } x \in [0, \pi) \\[1ex] x - 2\pi & \text{ si } x \in [\pi, 2\pi) \end{array} \right. \end{align*}

Y extendida a R\mathbb{R} con periodo 2π2\pi:

TikZ Graph

Entonces tenemos que f∈L2([0,2π],R)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{R}). Calculamos su serie de Fourier:

an=0∀n≥0ybn=2n(−1)n+1∀n≥1\begin{align*} a_n = 0 \quad \forall n \geq 0 \qquad \text{y} \qquad b_n = \frac{2}{n} (-1)^{n + 1} \quad \forall n \geq 1 \end{align*}

Entonces, la serie de Fourier de ff es:

f(x)∼2∑n=1∞(−1)n+1sin⁡(nx)n\begin{align*} f(x) \sim 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} ( - 1)^{n + 1} \frac{\sin (nx)}{n} \end{align*}

Se verifican tanto las condiciones de la Condición de Jordan como las de la Condición de Dini, por ejemplo, para x∈Rx \in \mathbb{R} fijo, existe δ>0\delta > 0 tal que ff es monótona o suma de monótonas en (x−δ,x+δ)(x - \delta, x + \delta). Ahora:

  • Si x∈[0,π)x \in [0, \pi) entonces:
x=2∑n=1∞(−1)n+1sin⁡(nx)n\begin{align*} x = 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} ( - 1)^{n + 1} \frac{\sin (nx)}{n} \end{align*}
  • Si x∈[π,2π)x \in [\pi, 2\pi) entonces:
f(x)=x−2π\begin{align*} f(x) = x - 2\pi \end{align*}
  • Si x∈(−π,0)x \in ( - \pi, 0) entonces:
x=2∑n=1∞(−1)n+1sin⁡(nx)n\begin{align*} x = 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} ( - 1)^{n + 1} \frac{\sin (nx)}{n} \end{align*}

Ahora, recordando que sea f∈C0(R)f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica entonces:

∀x∈R∫0xf(t) dt=a02x+∑n=1∞∫0x(ancos⁡(nt)+bnsin⁡(nt)) dt\begin{align*} \forall x \in \mathbb{R} \quad \int_0^x f(t) \, dt = \frac{a_0}{2} x + \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^x \left(a_n \cos (nt) + b_n \sin (nt)\right) \, dt \end{align*}

Por tanto, para x∈(−π,π)x \in ( - \pi, \pi) se tiene que:

∫0xf(t) dt=∑n=1∞2(−1)n−1n∫0xsin⁡(nt) dt=−2∑n=1∞(−1)n−1n[1−cos⁡(nx)]\begin{align*} \int_0^x f(t)\, dt = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2( - 1)^{n - 1}}{n} \int_0^x \sin (nt) \, dt = - 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1)^{n - 1}}{n} [1 - \cos (nx)] \end{align*}

Así, sea:

G(x)=2∑n=1∞(−1)n−1n2[1−cos⁡(nx)]\begin{align*} G(x) = 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1)^{n - 1}}{n^2} [1 - \cos (nx)] \end{align*}

Por el criterio M de Weierstrass, GG converge uniformemente para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, en particular, en [−π,π][-\pi, \pi] y además:

∣(−1)n−1n2[1−cos⁡(nx)]∣≤4n2∀n≥1\begin{align*} \left|\frac{( - 1)^{n - 1}}{n^2} [1 - \cos (nx)]\right| \leq \frac{4}{n^2} \quad \forall n \geq 1 \end{align*}

Por lo tanto G(x)G(x) es continua para x∈Rx \in \mathbb{R}, en particular, en [0,π][0, \pi] donde:

  • Si x∈[0,π)x \in [0, \pi) entonces:
G(x)=∫0xt dt=x22\begin{align*} G(x) = \int_0^x t \, dt = \frac{x^2}{2} \end{align*}
  • Si x=πx = \pi entonces:
G(π)=∫0πt dt=π22\begin{align*} G(\pi) = \int_0^{\pi} t \, dt = \frac{\pi^2}{2} \end{align*}

Por tanto:

x22=2∑n=1∞(−1)n−1n2[1−cos⁡(nx)]∀x∈(−π,π]\begin{align*} \frac{x^2}{2} = 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1)^{n - 1}}{n^2} [1 - \cos (nx)] \quad \forall x \in ( - \pi, \pi] \end{align*}

En particular, si x=πx = \pi entonces:

π22=2∑n=1∞(−1)n−1n2[1−cos⁡(nπ)]=4∑k=0∞1(2k+1)2\begin{align*} \frac{\pi^2}{2} = 2 \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1)^{n - 1}}{n^2} [1 - \cos (n\pi)] = 4 \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2k + 1)^2} \end{align*}

Luego, para n=2k+1n = 2k + 1 se tiene que:

π28=∑k=0∞1(2k+1)2\begin{align*} \frac{\pi^2}{8} = \displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2k + 1)^2} \end{align*}

Teorema

Sea f∈L2([0,2π],R)f \in L_2([0, 2\pi], \mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica y diferenciable en x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} entonces su serie de Fourier converge en x0x_0 a f(x0)f(x_0).

Teorema

Sea f∈C2(R)f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}) función 2π2\pi-periódica entonces su serie de Fourier converge uniformemente a ff en R\mathbb{R}.

Además, en ese caso la serie de Fourier es derivable término a término:

f′(x)=∑n=1∞(−nansin⁡(nx)+nbncos⁡(nx))∀x∈R\begin{align*} f'(x) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \left(- n a_n \sin (nx) + n b_n \cos (nx)\right) \quad \forall x \in \mathbb{R} \end{align*}