Análisis 3 - Tema 6

Análisis III
Análisis Matemático
Espacios Lp
Normas
Desigualdades de Hölder y Minkowski
Espacios vectoriales seminormados
2026-01-12
53 min de lectura

Espacios Lp\mathcal{L}_p

A lo largo de este tema consideraremos un espacio de medida (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) fijo genérico.

Conjunto de funciones medibles con potencia pp-ésima integrable. Definición

Sea p∈[0,∞)p \in [0, \infty), se define el conjunto de todas las funciones medibles f:X→Rf: X \to \mathbb{R} tales que su potencia pp-ésima es integrable como:

Lp(X,Σ,μ)=Lp(X)={f:X→R : f medible y ∫X∣f(x)∣p dμ(x)<∞}\begin{align*} \mathcal{L}_p(X, \Sigma, \mu) = \mathcal{L}_p(X) = \left\{ f: X \to \mathbb{R} \, : \, f \text{ medible y } \int_X |f(x)|^p \, d\mu(x) < \infty \right\}\\ \end{align*}

✏️Ejemplo

Sea X=[0,1]X = [0, 1] y μ\mu la medida de Lebesgue en [0,1][0, 1], se considera la función f:[0,1]→Rf: [0, 1] \to \mathbb{R} definida como:

f(x)=1x∀x∈[0,1]\begin{align*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \quad \forall x \in [0, 1] \end{align*}

Ver que no pertenece a L2\mathcal{L}_2 pero sí a L1\mathcal{L}_1.

Vemos que ff es medible porque es continua en (0,1](0, 1] y el conjunto {0}\{0\} es de medida nula. Ahora, calculamos:

∫01∣f(x)∣2 dx=∫01∣1x∣2 dx=∫011x dx=lim⁡t→0+∫t11x dx==lim⁡t→0+[ln⁡∣x∣]t1=lim⁡t→0+(0−ln⁡∣t∣)=∞\begin{align*} \int_0^1 |f(x)|^2 \, dx & = \int_0^1 \left|\frac{1}{\sqrt{x}}\right|^2 \, dx = \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{x} \, dx = \\[2ex] & = \lim_{t \to 0^+} \left[\ln|x|\right]_t^1 = \lim_{t \to 0^+} (0 - \ln|t|) = \infty \end{align*}

Por tanto, f∉L2([0,1])f \notin \mathcal{L}_2([0, 1]). Ahora, calculamos:

∫01∣f(x)∣ dx=∫01∣1x∣ dx=∫011x dx=lim⁡t→0+∫t11x dx==lim⁡t→0+[2x]t1=lim⁡t→0+(2−2t)=2\begin{align*} \int_0^1 |f(x)| \, dx & = \int_0^1 \left|\frac{1}{\sqrt{x}}\right| \, dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \\[2ex] & = \lim_{t \to 0^+} \left[2\sqrt{x}\right]_t^1 = \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2 \end{align*}

Por tanto, f∈L1([0,1])f \in \mathcal{L}_1([0, 1]).

Norma pp-ésima. Definición

Sea p∈[1,∞)p \in [1, \infty) y f∈Lp(X)f \in \mathcal{L}_p(X) entonces se define la norma pp-ésima como:

∥f∥p:−(∫X∣f(x)∣p dμ(x))1p\begin{align*} \|f\|_p \coloneq \left(\int_X |f(x)|^p \, d\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}\\ \end{align*}

💡Recordatorio

Recordemos que una norma ∥⋅∥\|\cdot\| se define como una aplicación ∥⋅∥:V→[0,∞)\|\cdot\|: V \to [0, \infty) donde VV es un espacio vectorial sobre R\mathbb{R} que cumple las siguientes propiedades ∀u,v∈V\forall u, v \in V y ∀λ∈R\forall \lambda \in \mathbb{R}:

  • Positividad: ∥v∥≥0\|v\| \geq 0 y ∥v∥=0  ⟺  v=0\|v\| = 0 \iff v = 0
  • Homogeneidad: ∥λv∥=∣λ∣⋅∥v∥\|\lambda v\| = |\lambda| \cdot \|v\|
  • Desigualdad triangular: ∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|

💡Nota

Observar que el caso particular de p=1p = 1 ya se ha estudiado en el tema de Integrales de Lebesgue.

Existencia de función en Lp(X)\mathcal{L}_p(X) equivalente casi en todas partes a ff. Proposición

Sea f:X→R‾f: X \to \overline{\mathbb{R}} medible y ∫X∣f(x)∣p dμ(x)<∞\int_X |f(x)|^p \, d\mu(x) < \infty entonces:

∃g∈Lp(X) tq f=g μ-a.e.\begin{align*} \exists g \in \mathcal{L}_p(X) \text{ tq } f = g \, \mu\text{-a.e.} \end{align*}

En consecuencia tenemos que:

(∫X∣f(x)∣p dμ(x))1p=(∫X∣g(x)∣p dμ(x))1p=∥g∥p\begin{align*} \left(\int_X |f(x)|^p \, d\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}} = \left(\int_X |g(x)|^p \, d\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}} = \|g\|_p \end{align*}

💡Nota

Notar que esto afirma que toda función ff que tenga su potencia pp-ésima integrable puede modificarse en un conjunto de medida cero para convertirla en una función gg que pertenezca a Lp(X)\mathcal{L}_p(X).

Por lo tanto, la integral entre ff y gg es la misma, ya que difieren solo en un conjunto de medida nula.

📐Demostración

Basta tomar la función gg dada por:

g(x)=f(x)⋅XX∖A(x)={f(x)si x∈X∖A0si x∈A con A={x∈X:∣f(x)∣=∞}\begin{align*} g(x) = f(x) \cdot \mathcal{X}_{X\setminus A} (x) = \left\{ \begin{array}{ll} f(x) & \text{si } x \in X \setminus A \\[1ex] 0 & \text{si } x \in A \end{array} \right. \quad \text{ con } A = \left\{x \in X : |f(x)| = \infty \right\} \end{align*}

Es claro que gg es medible y que f=g μ-a.e.f = g \, \mu\text{-a.e.} ya que μ(A)=0\mu(A) = 0 (pues si no, la integral de ∣f∣p|f|^p sería infinita). Además:

∫X∣g(x)∣p dμ(x)=∫A∣0∣p dμ(x)+∫X∖A∣f(x)∣p dμ(x)==∫X∖A∣f(x)∣p dμ(x)≤∫X∣f(x)∣p dμ(x)<∞\begin{align*} \int_X |g(x)|^p \, d\mu(x) & = \int_A |0|^p \, d\mu(x) + \int_{X \setminus A} |f(x)|^p \, d\mu(x) = \\[2ex] & = \int_{X \setminus A} |f(x)|^p \, d\mu(x) \leq \int_X |f(x)|^p \, d\mu(x) < \infty \end{align*}

Por tanto, g∈Lp(X)g \in \mathcal{L}_p(X).

Conjunto de funciones medibles esencialmente acotadas. Definición

Sea p=∞p = \infty, se define el conjunto de todas las funciones medibles esencialmente acotadas como:

L∞(X)={f:X→R : f medible y ∃α∈[0,∞) tq μ({x∈X:∣f(x)∣>α})=0}\begin{align*} L_\infty(X) = \left\{ f: X \to \mathbb{R} \, : \, f \text{ medible y } \exists \alpha \in [0, \infty) \text{ tq } \mu(\left\{x \in X : |f(x)| > \alpha\right\}) = 0 \right\} \end{align*}

O, equivalentemente,

L∞(X)={f:X→R : f medible y ∃α∈[0,∞) tq μ(X∖{x∈X:∣f(x)∣≤α})=0}\begin{align*} L_\infty(X) = \left\{ f: X \to \mathbb{R} \, : \, f \text{ medible y } \exists \alpha \in [0, \infty) \text{ tq } \mu\left(X \setminus \left\{x \in X : |f(x)| \leq \alpha\right\}\right) = 0 \right\}\\ \end{align*}

💡Nota

Intuitivamente, la idea es que ff no tiene que estar acotada en todo XX, sino que puede tener valores muy grandes en un conjunto de medida nula. De hecho, el α\alpha es una cota ``esencial'' para ff en el sentido de que ff está acotada por α\alpha en casi todo XX, excepto en un conjunto de medida cero.

✏️Ejemplo

Sea X=[0,1]X = [0, 1] y μ\mu la medida de Lebesgue en [0,1][0, 1], se considera la función f:[0,1]→Rf: [0, 1] \to \mathbb{R} definida como:

f(x)=1x∀x∈[0,1]\begin{align*} f(x) = \frac{1}{x} \quad \forall x \in [0, 1] \end{align*}

La función no está en L∞([0,1])L_\infty([0, 1]).

Basta notar que para cualquier α>0\alpha > 0 se tiene que:

{x∈[0,1]:∣f(x)∣>α}={x∈[0,1]:1x>α}=(0,1α]\begin{align*} \left\{x \in [0, 1] : |f(x)| > \alpha \right\} = \left\{x \in [0, 1] : \frac{1}{x} > \alpha \right\} = \left(\left.0, \frac{1}{\alpha}\right] \right. \end{align*}

Y por tanto, μ({x∈[0,1]:∣f(x)∣>α})=1α>0\mu\left(\left\{x \in [0, 1] : |f(x)| > \alpha \right\}\right) = \frac{1}{\alpha} > 0. Luego, no existe ningún α\alpha que cumpla la condición de la definición y por tanto, f∉L∞([0,1])f \notin L_\infty([0, 1]).

✏️Ejemplo

Sea X=[0,1]X = [0, 1] y μ\mu la medida de Lebesgue en [0,1][0, 1], se considera la función f:[0,1]→Rf: [0, 1] \to \mathbb{R} definida como:

f(x)={67si x∈(0,1]∞si x=0\begin{align*} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 67 & \text{si } x \in (0, 1] \\[1ex] \infty & \text{si } x = 0 \end{array} \right. \end{align*}

La función está en L∞([0,1])L_\infty([0, 1]). Basta notar que para α=69\alpha = 69 se tiene que:

{x∈[0,1]:∣f(x)∣>69}={0}\begin{align*} \left\{x \in [0, 1] : |f(x)| > 69 \right\} = \{0\} \end{align*}

Y por tanto, μ({x∈[0,1]:∣f(x)∣>69})=0\mu\left(\left\{x \in [0, 1] : |f(x)| > 69 \right\}\right) = 0. Luego, existe un α\alpha que cumple la condición de la definición y por tanto, f∈L∞([0,1])f \in L_\infty([0, 1]).

Norma del supremo. Definición

Sea f:X→R‾f: X \to \overline{\mathbb{R}} medible y supongamos que ∃α∈[0,∞)\exists \alpha \in [0, \infty) tal que:

μ({x∈X:∣f(x)∣>α})=0\begin{align*} \mu\left(\left\{x \in X : |f(x)| > \alpha\right\}\right) = 0 \end{align*}

Entonces existe una función g∈L∞(X)g \in \mathcal{L}_\infty(X) tal que f=g μ-a.e.f = g \, \mu\text{-a.e.} y se define la norma del supremo como:

∥f∥∞:−inf⁡{α∈[0,∞):μ({x∈X:∣f(x)∣>α})=0}\begin{align*} \|f\|_\infty & \coloneq \inf \left\{\alpha \in [0, \infty) : \mu\left(\left\{x \in X : |f(x)| > \alpha\right\}\right) = 0 \right\} \end{align*}

O, equivalentemente, como {x:∣f(x)∣>α}=X∖{x:∣f(x)∣≤α}\{x : |f(x)| > \alpha\} = X \setminus \{x : |f(x)| \leq \alpha\}:

∥f∥∞=inf⁡{α∈[0,∞):X={x∈X:∣g(x)∣≤α} μ-a.e.}\begin{align*} \|f\|_{\infty} = \inf \{\alpha \in [0, \infty) : X = \left\{x \in X : |g(x)| \leq \alpha\right\} \, \mu\text{-a.e.} \}\\ \end{align*}

Proposición de equivalencia de la norma del supremo. Proposición

En la definición anterior, si consideramos el conjunto:

Af:−{α∈[0,∞):μ({x∈X:∣f(x)∣>α})=0}\begin{align*} A_f \coloneq \left\{\alpha \in [0, \infty) : \mu\left(\left\{x \in X : |f(x)| > \alpha\right\}\right) = 0 \right\} \end{align*}

Entonces se tiene que:

∥f∥∞=min⁡Af\begin{align*} \|f\|_\infty = \min A_f \end{align*}

💡Nota

Notar que lo que se dice aquí es que el ínfimo en la definición de la norma del supremo es en realidad un mínimo, es decir, que se alcanza.

📐Demostración

Definimos β:−inf⁡Af\beta \coloneq \inf A_f y tomamos (βn)n∈N⊆Af(\beta_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq A_f una sucesión decreciente tal que lim⁡n→∞βn=β\lim_{n \to \infty} \beta_n = \beta. Entonces, definimos los conjuntos:

Bn:−{x∈X:∣f(x)∣≤βn}∀n∈N\begin{align*} B_n \coloneq \left\{x \in X : |f(x)| \leq \beta_n \right\} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Se tiene que:

  • Bn⊆Bn+1∀n∈NB_n \subseteq B_{n+1} \quad \forall n \in \mathbb{N}
  • Bn∈ΣB_n \in \Sigma ya que ff es medible
  • Bn=X∖MnB_n = X \setminus M_n con μ(Mn)=0\mu(M_n) = 0 ya que βn∈Af\beta_n \in A_f

Como (βn)n→β(\beta_n)_n \to \beta decrecientemente, ∣f(x)∣≤β|f(x)| \leq \beta equivale a que ∣f(x)∣≤βn|f(x)| \leq \beta_n ∀n\forall n. Por tanto, se tiene que:

{x:∣f(x)≤β}=⋂n=1∞{x:∣f(x)∣≤βn}=⋂n=1∞Bn=X∖(⋃n=1∞Mn)\begin{align*} \left\{x : |f(x) \leq \beta \right\} = \displaystyle \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left\{x : |f(x)| \leq \beta_n \right\} = \bigcap_{n = 1}^{\infty} B_n = X \setminus \left(\bigcup_{n = 1}^{\infty} M_n\right) \end{align*}

Como cada MnM_n es de medida nula, se tiene que:

μ(⋃n=1∞Mn)=0  ⟹  μ({x:∣f(x)∣>β})=0\begin{align*} \mu\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty} M_n\right) = 0 \implies \mu\left(\left\{x : |f(x)| > \beta \right\}\right) = 0 \end{align*}

Por tanto, β∈Af\beta \in A_f y como β=inf⁡Af\beta = \inf A_f se tiene que ∥f∥∞=min⁡Af\|f\|_\infty = \min A_f.

Estructura de espacio vectorial de Lp(X)\mathcal{L}_p(X). Proposición

Para todo p∈1,…,∞p \in {1, \dots, \infty} se tiene que Lp(X)\mathcal{L}_p(X) es un espacio vectorial.

📐Demostración

La demostración se divide en tres casos:

  • Caso p=1p = 1: Ya está demostrado en el tema de Integrales de Lebesgue.

  • Caso p=∞p = \infty: Consideramos f∈L∞(X)f \in \mathcal{L}_\infty(X) y veamos que se cumplen las propiedades de espacio vectorial:

  • Caso 1<p<∞1 < p < \infty: Consideramos f,g∈Lp(X)f, g \in \mathcal{L}_p(X) y veamos que se cumplen las propiedades de espacio vectorial:

  • Multiplicación por escalares. Sea λ∈R\lambda \in \mathbb{R} entonces:

∫X∣λf(x)∣p dμ(x)=∣λ∣p∫X∣f(x)∣p dμ(x)=∣λ∣p∥f∥pp<∞\begin{align*} \int_X |\lambda f(x)|^p \, d\mu(x) = |\lambda|^p \int_X |f(x)|^p \, d\mu(x) = |\lambda|^p \|f\|_p^p < \infty \end{align*}

Por tanto, λf∈Lp(X)\lambda f \in \mathcal{L}_p(X).

  • Cierre por suma. Tenemos que:
f(x)+g(x)=12⋅2f(x)+12⋅2g(x)∀x∈X\begin{align*} f(x) + g(x) = \frac{1}{2} \cdot 2f(x) + \frac{1}{2} \cdot 2g(x) \quad \forall x \in X \end{align*}

Por lo tanto:

∫X∣f(x)+g(x)∣p dμ=∫X∣12⋅2f(x)+12⋅2g(x)∣p dμ≤≤∫X∣12∣2f(x)∣+12∣2g(x)∣∣p dμ=(⋆)\begin{align*} \int_X |f(x) + g(x)|^p \, d\mu & = \int_X \left|\frac{1}{2} \cdot 2f(x) + \frac{1}{2} \cdot 2g(x)\right|^p \, d\mu \leq \\[2ex] & \leq \int_X \left|\frac{1}{2} |2f(x)| + \frac{1}{2} |2g(x)|\right|^p \, d\mu = (\star) \end{align*}

Como h(t)=tph(t) = t^p es convexa en t∈[0,∞)t \in [0, \infty) porque p>1p > 1 se tiene que:

(⋆)≤∫X(12∣2f(x)∣p+12∣2g(x)∣p)dμ=∫X(2p−1∣f(x)∣p+2p−1∣g(x)∣p)dμ=2p−1∫X∣f(x)∣p dμ+2p−1∫X∣g(x)∣p dμ==2p−1∥f∥pp+2p−1∥g∥pp<∞\begin{align*} (\star)& \leq \int_X \left(\frac{1}{2} |2f(x)|^p + \frac{1}{2} |2g(x)|^p \right) d\mu = \int_X \left(2^{p-1} |f(x)|^p + 2^{p-1} |g(x)|^p \right)d\mu \\[2ex] & = 2^{p-1} \int_X |f(x)|^p \, d\mu + 2^{p-1} \int_X |g(x)|^p \, d\mu =\\[2ex] & = 2^{p-1} \|f\|_p^p + 2^{p-1} \|g\|_p^p < \infty \end{align*}

Por tanto, f+g∈Lp(X)f + g \in \mathcal{L}_p(X).

Desigualdad de Hölder. Proposición

Sea f∈Lp(X)f \in \mathcal{L}_p(X) y g∈Lp∗(X)g \in \mathcal{L}_{p^*} (X) con 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty entonces:

f⋅g∈L1(X)y∥f⋅g∥1≤∥f∥p⋅∥g∥p∗\begin{align*} f \cdot g \in \mathcal{L}_1(X) \qquad \text{y} \qquad \|f \cdot g\|_1 \leq \|f\|_p \cdot \|g\|_{p^*} \end{align*}

💡Notación

Dado p∈[1,∞)p \in [1, \infty), la notación p∗p^{*} se define como el único número en [0,∞][0, \infty] que cumple:

1p+1p∗=1\begin{align*} \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{*}} = 1 \end{align*}

Algunos de los casos particulares son:

  • Sea p=1p = 1 entonces p∗=∞p^{*} = \infty
  • Sea p=∞p = \infty entonces p∗=1p^{*} = 1
  • Sea 1<p<∞1 < p < \infty entonces:
1p+1x=1  ⟹  x=11−1p=pp−1∈(1,∞)\begin{align*} \frac{1}{p} + \frac{1}{x} = 1 \implies x = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \frac{p}{p - 1} \in (1, \infty) \end{align*}

Además, se dan algunas propiedades importantes ∀p∈[1,∞]\forall p \in [1, \infty] como:

  • p∗∗=pp^{**} = p
  • p+p∗=p⋅p∗p + p^{*} = p \cdot p^{*}
  • p∗=pp−1p^* = \frac{p}{p - 1}

📐Demostración

La demostración se divide en los siguientes casos:

  • Caso p=1p = 1 entonces p∗=∞p^{*} = \infty: Se tiene que f∈L1(X)f \in \mathcal{L}_1(X) y g∈L∞(X)g \in \mathcal{L}_\infty(X) entonces:
∃M∈Σ con μ(M)=0 tq X∖M={x∈X:∣g(x)∣≤∥g∥∞}\begin{align*} \exists M \in \Sigma \text{ con } \mu(M) = 0 \text{ tq } X \setminus M = \{x \in X : |g(x)| \leq \|g\|_\infty \} \end{align*}

Por lo tanto:

∫X∣f(x)⋅g(x)∣ dμ(x)=∫X∖M∣f(x)∣⋅∣g(x)∣ dμ(x)+∫M∣f(x)⋅g(x)∣ dμ(x)≤≤∫X∖M∣f(x)∣⋅∥g∥∞ dμ(x)==∥g∥∞∫X∖M∣f(x)∣ dμ(x)=∥g∥∞⋅∥f∥1<∞\begin{align*} \int_X |f(x) \cdot g(x)| \, d\mu(x) & = \int_{X \setminus M} |f(x)| \cdot |g(x)| \, d\mu(x) + \cancel{\int_M |f(x) \cdot g(x)| \, d\mu(x) } \leq \\[2ex] & \leq \int_{X \setminus M} |f(x)| \cdot \|g\|_\infty \, d\mu(x) = \\[2ex] & = \|g\|_\infty \int_{X \setminus M} |f(x)| \, d\mu(x) = \|g\|_\infty \cdot \|f\|_1 < \infty \end{align*}

Por tanto, f⋅g∈L1(X)f \cdot g \in \mathcal{L}_1(X) y se cumple la desigualdad de Hölder.

  • Caso p=∞p = \infty entonces p∗=1p^{*} = 1: Este caso es análogo al anterior, es decir, se tiene que f∈L∞(X)f \in \mathcal{L}_\infty(X) y g∈L1(X)g \in \mathcal{L}_1(X) entonces:
∃M∈Σ con μ(M)=0 tq X∖M={x∈X:∣f(x)∣≤∥f∥∞}\begin{align*} \exists M \in \Sigma \text{ con } \mu(M) = 0 \text{ tq } X \setminus M = \{x \in X : |f(x)| \leq \|f\|_\infty \} \end{align*}

Por lo tanto:

∫X∣f(x)⋅g(x)∣ dμ(x)=∫X∖M∣f(x)∣⋅∣g(x)∣ dμ(x)+∫M∣f(x)⋅g(x)∣ dμ(x)≤≤∫X∖M∥f∥∞⋅∣g(x)∣ dμ(x)==∥f∥∞∫X∖M∣g(x)∣ dμ(x)=∥f∥∞⋅∥g∥1<∞\begin{align*} \int_X |f(x) \cdot g(x)| \, d\mu(x) & = \int_{X \setminus M} |f(x)| \cdot |g(x)| \, d\mu(x) + \cancel{\int_M |f(x) \cdot g(x)| \, d\mu(x) } \leq \\[2ex] & \leq \int_{X \setminus M} \|f\|_\infty \cdot |g(x)| \, d\mu(x) = \\[2ex] & = \|f\|_\infty \int_{X \setminus M} |g(x)| \, d\mu(x) = \|f\|_\infty \cdot \|g\|_1 < \infty \end{align*}

Por tanto, f⋅g∈L1(X)f \cdot g \in \mathcal{L}_1(X) y se cumple la desigualdad de Hölder.

  • Caso 1<p<∞1 < p < \infty: Este caso, se divide a su vez en dos subcasos:

Desigualdad de Minkowski. Proposición

Sea 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty y f,g∈Lp(X)f, g \in \mathcal{L}_p(X) entonces:

∥f+g∥p≤∥f∥p+∥g∥p\begin{align*} \|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p \end{align*}

📐Demostración

Se distinguen tres casos para la demostración:

  • Caso p=1p = 1: Ya está demostrado en el tema de Integrales de Lebesgue.
  • Caso p=∞p = \infty: Sea f,g∈L∞(X)f, g \in \mathcal{L}_\infty(X), por definición de \mathcal{L_\infty(X)}:
∃Mf∈Σ con μ(Mf)=0 tq X∖Mf={x∈X:∣f(x)∣≤∥f∥∞}∃Mg∈Σ con μ(Mg)=0 tq X∖Mg={x∈X:∣g(x)∣≤∥g∥∞}\begin{align*} &\exists M_f \in \Sigma \text{ con } \mu(M_f) = 0 \text{ tq } X \setminus M_f = \{x \in X : |f(x)| \leq \|f\|_\infty \} \\ &\exists M_g \in \Sigma \text{ con } \mu(M_g) = 0 \text{ tq } X \setminus M_g = \{x \in X : |g(x)| \leq \|g\|_\infty \} \end{align*}

Entonces, para cada x∈X∖(Mf∪Mg)x \in X \setminus (M_f \cup M_g) se tiene que:

∣f(x)−g(x)∣≤D.T.∣f(x)∣+∣g(x)∣≤∥f∥∞+∥g∥∞\begin{align*} |f(x) - g(x)| \overset{\text{D.T.}}{\leq} |f(x)| + |g(x)| \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty \end{align*}

Y por tanto, como μ(Mf∪Mg)=0\mu(M_f \cup M_g) = 0 se tiene que f+g∈L∞(X)f + g \in \mathcal{L}_\infty(X) y:

∥f+g∥∞≤∥f∥∞+∥g∥∞\begin{align*} \|f + g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty\\ \end{align*}
  • Caso 1<p<∞1 < p < \infty: Sea f,g∈Lp(X)f, g \in \mathcal{L}_p(X), entonces:
∥f+g∥pp=∫X∣f(x)+g(x)∣p dμ=∫X∣f(x)+g(x)∣⋅∣f(x)+g(x)∣p−1 dμ≤≤∫X∣f(x)∣⏟∈Lp(X)⋅∣f(x)+g(x)∣p−1⏟∈Lp∗(X) dμ+∫X∣g(x)∣⏟∈Lp(X)⋅∣f(x)+g(x)∣p−1⏟∈Lp∗(X) dμ\begin{align*} \|f + g\|_p^p & = \int_X |f(x) + g(x)|^p \, d\mu = \int_X |f(x) + g(x)| \cdot |f(x) + g(x)|^{p - 1} \, d\mu \leq \\[2ex] & \leq \int_X \underbrace{|f(x)|}_{\in \mathcal{L}_p(X)} \cdot \underbrace{|f(x) + g(x)|^{p - 1}}_{\in \mathcal{L}_{p^{*}}(X)} \, d\mu + \int_X \underbrace{|g(x)|}_{\in \mathcal{L}_p(X)} \cdot \underbrace{|f(x) + g(x)|^{p - 1}}_{\in \mathcal{L}_{p^{*}}(X)} \, d\mu \end{align*}

Además, por ? tenemos que:

∫X∣f(x)+g(x)∣(p−1)p∗ dμ=∫X∣f(x)+g(x)∣p dμ=∥f+g∥pp<∞\begin{align*} \int_X |f(x) + g(x)|^{(p - 1) p^{*}} \, d\mu = \int_X |f(x) + g(x)|^p \, d\mu = \|f + g\|_p^p < \infty \end{align*}

Por tanto, aplicando desigualdad de Hölder en las dos integrales de (1) se tiene:

∥f+g∥pp=…(1)≤∥f∥p⋅∥∣f+g∣p−1∥p∗+∥g∥p⋅∥∣f+g∣p−1∥p∗==(∥f∥p+∥g∥p)⋅∥∣f+g∣p−1∥p∗==(∥f∥p+∥g∥p)⋅(∫X∣f(x)+g(x)∣(p−1)p∗ dμ)1p∗==(∥f∥p+∥g∥p)⋅(∫X∣f(x)+g(x)∣p dμ)1p∗==(∥f∥p+∥g∥p)⋅(∥f+g∥pp)1p∗=(∥f∥p+∥g∥p)⋅∥f+g∥pp−1\begin{align*} \|f + g\|_p^p & = \overset{(1)}{\dots} \leq \|f\|_p \cdot \left\| |f + g|^{p - 1} \right\|_{p^{*}} + \|g\|_p \cdot \left\| |f + g|^{p - 1} \right\|_{p^{*}} = \\[2ex] & = \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right) \cdot \left\| |f + g|^{p - 1} \right\|_{p^{*}} = \\[2ex] & = \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right) \cdot \left( \int_X |f(x) + g(x)|^{(p - 1) p^{*}} \, d\mu \right)^{\frac{1}{p^{*}}} = \\[2ex] & = \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right) \cdot \left( \int_X |f(x) + g(x)|^p \, d\mu \right)^{\frac{1}{p^{*}}} = \\[2ex] & = \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right) \cdot \left(\|f + g\|_p^p \right)^{\frac{1}{p^{*}}} = \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right) \cdot \|f + g\|_p^{p - 1} \end{align*}

Por lo tanto, si despejamos se obtiene la desigualdad de Minkowski:

∥f+g∥pp≤(∥f∥p+∥g∥p)⋅∥f+g∥pp−1  ⟹  ∥f+g∥pp−(p−1)≤∥f∥p+∥g∥p  ⟹    ⟹  ∥f+g∥p≤∥f∥p+∥g∥p\begin{align*} \|f + g\|_p^{p} \leq \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right) \cdot \|f + g\|_p^{p - 1}& \implies \|f + g\|_p^{p - (p - 1)} \leq \|f\|_p + \|g\|_p \implies \\[2ex] & \implies \|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p \end{align*}

Espacio vectorial seminormado. Definición

Sea VV un espacio vectorial, se dice seminormado si existe una aplicación, llamada seminorma de VV, ∥⋅∥:V→[0,∞)\|\cdot\| : V \to [0, \infty) que cumple las siguientes propiedades:

  • i) ∥λx∥=∣λ∣⋅∥x∥∀x∈V, ∀λ∈R\|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\| \quad \forall x \in V, \, \forall \lambda \in \mathbb{R} (notar que ∥0V∥=0\|0_V\| = 0)
  • ii) ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥∀x,y∈V\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| \quad \forall x, y \in V

Corolario

Sea 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty entonces (Lp(X),∥⋅∥p)(\mathcal{L}_p(X), \|\cdot\|_p) es un espacio vectorial seminormado.

💡Nota

Ojo, ∥f∥p=0\|f\|_p = 0 no implica que f=0f = 0 sino que f=0 μ-a.e.f = 0 \, \mu\text{-a.e.}

Paso de espacio seminormado a espacio normado

Sea (V,∥⋅∥)(V, \|\cdot\|) un espacio vectorial seminormado, definimos:

N={x∈V:∥x∥=0}⊆V\begin{align*} N = \left\{x \in V : \|x\| = 0 \right\} \subseteq V \end{align*}

Entonces, tenemos que NN es un subespacio vectorial de VV ya que:

  • Sean λ∈R\lambda \in \mathbb{R} y x∈Nx \in N entonces:
∥λx∥=∣λ∣⋅∥x∥=∣λ∣⋅0=0  ⟹  λx∈N\begin{align*} \|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\| = |\lambda| \cdot 0 = 0 \implies \lambda x \in N \end{align*}
  • Sean x,y∈Nx, y \in N entonces:
∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥=0+0=0  ⟹  x+y∈N\begin{align*} \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| = 0 + 0 = 0 \implies x + y \in N \end{align*}

Por tanto, podemos definir el espacio vectorial cociente V/NV / N y la aplicación:

∥⋅∥′:V/N→[0,∞)x+N↦∥x+N∥′:−∥x∥\begin{align*} \| \cdot \|' : V / N & \to [0, \infty) \\ x + N & \mapsto \|x + N \|' \coloneq \|x\| \end{align*}

Podemos notar que ∥⋅∥′\|\cdot\|' está bien definida ya que si x+N=y+Nx + N = y + N entonces:

∃u∈N tq x=y+u\begin{align*} \exists u \in N \text{ tq } x = y + u \end{align*}

Por tanto:

∥x∥=∥y+u∥≤∥y∥+∥u∥=∥y∥+0=∥y∥∥y∥=∥x−u∥≤∥x∥+∥−u∥=∥x∥+0=∥x∥}  ⟹  ∥x∥=∥y∥\begin{align*} \left. \begin{array}{l} \|x\| = \|y + u\| \leq \|y\| + \|u\| = \|y\| + 0 = \|y\| \\ \|y\| = \|x - u\| \leq \|x\| + \|-u\| = \|x\| + 0 = \|x\| \end{array} \right\} \implies \|x\| = \|y\| \end{align*}

Además, podemos ver que ∥⋅∥′\|\cdot\|' es una norma en V/NV / N ya que:

  • Sean λ∈R\lambda \in \mathbb{R} y x+N∈V/Nx + N \in V / N entonces:
∥λ(x+N)∥′=∥λx+N∥′=∥λx∥=∣λ∣⋅∥x∥=∣λ∣⋅∥x+N∥′\begin{align*} \|\lambda (x + N) \|' = \|\lambda x + N\|' = \|\lambda x\| = |\lambda| \cdot \|x\| = |\lambda| \cdot \|x + N\|' \end{align*}
  • Sean x+N,y+N∈V/Nx + N, y + N \in V / N entonces:
∥(x+N)+(y+N)∥′=∥x+y+N∥′=∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥=∥x+N∥′+∥y+N∥′\begin{align*} \| (x + N) + (y + N) \|' = \|x + y + N\|' = \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| = \|x + N\|' + \|y + N\|' \end{align*}
  • Si ∥x+N∥′=0\|x + N\|' = 0 entonces:
∥x∥=0  ⟹  x∈N  ⟹  x+N=N=0V/N\begin{align*} \|x\| = 0 \implies x \in N \implies x + N = N = 0_{V / N} \end{align*}

💡Nota

Se suele escribir (V/N,∥⋅∥)(V / N, \|\cdot\|) en lugar de (V/N,∥⋅∥′)(V / N, \|\cdot\|') por simplicidad.

Aplicación al espacio Lp(X)\mathcal{L}_p(X)

Para cada p∈[1,∞]p \in [1, \infty] definimos:

Np={f∈Lp(X,Σ,μ):∥f∥p=0}N={f:X→R:f(x)=0 μ-a.e. y f medible}\begin{align*} N_p & = \left\{f \in \mathcal{L}_p(X, \Sigma, \mu): \|f\|_p = 0 \right\}\\[2ex] N & = \left\{f: X \to \mathbb{R}: f(x) = 0 \, \mu\text{-a.e.} \text{ y } f\text{ medible} \right\} \end{align*}

donde el espacio (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) es un espacio de medida completo. Entonces, para cada p∈[1,∞]p \in [1, \infty] se tiene que Np=NN_p = N ya que:

  • Si p∈[1,∞)p \in [1, \infty) se tiene que:
∥f∥p=(∫X∣f(x)∣p dμ(x))1p=0  ⟺  ∣f(x)∣p=0 μ-a.e.  ⟺  f(x)=0 μ-a.e.\begin{align*} \|f\|_p = \left(\int_X |f(x)|^p \, d\mu(x) \right)^{\frac{1}{p}} = 0 \iff |f(x)|^p = 0 \, \mu\text{-a.e.} \iff f(x) = 0 \, \mu\text{-a.e.} \end{align*}
  • Si p=∞p = \infty se tiene que:
∥f∥∞=0  ⟺  {x∈X:∣f(x)∣≤∥f∥∞=0}=X μ-a.e.  ⟺  f(x)=0 μ-a.e.\begin{align*} \|f\|_\infty = 0 \iff \left\{x \in X : |f(x)| \leq \|f\|_\infty = 0 \right\} = X \, \mu\text{-a.e.} \iff f(x) = 0 \, \mu\text{-a.e.} \end{align*}

De esta forma, para cada p∈[1,∞]p \in [1, \infty] se tiene que:

Lp(X,Σ,μ)=(Lp(X,Σ,μ)N,∥⋅∥p)es un espacio vectorial normado.\begin{align*} L_p(X,\Sigma, \mu) = \left(\frac{\mathcal{L}_p(X, \Sigma, \mu)}{N}, \|\cdot\|_p\right) \quad \text{es un espacio vectorial normado.}\\ \end{align*}

💡Nota

Dada f∈Lp(X,Σ,μ)f \in \mathcal{L}_p(X, \Sigma, \mu), escribimos f∈Lp(X,Σ,μ)f \in L_p(X, \Sigma, \mu) en lugar de f+Nf + N o [f][f] y tenemos en cuenta que f=gf = g (en Lp(X,Σ,μ)L_p(X, \Sigma, \mu)) significa que:

f(x)=g(x) μ-a.e.( como funciones)\begin{align*} f(x) = g(x) \, \mu\text{-a.e.} \quad (\text{ como funciones}) \end{align*}

💡Nota

Si el contexto es claro, escribimos Lp(X)L_p(X) en lugar de Lp(X,Σ,μ)L_p(X, \Sigma, \mu).

✏️Ejemplo

Se considera el caso particular de la medida de contar, es decir:

Lp(N,P(N),m)N\begin{align*} \frac{\mathcal{L}_p(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m)}{N} \end{align*}

donde mm es la medida de contar en N\mathbb{N}. Entonces, se tiene que:

Sea s∈Lp(N,P(N),m)s \in \mathcal{L}_p(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m) entonces ss es una función definida como:

s:N⟶Rn⟼xn\begin{align*} s: \mathbb{N} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ n & \longmapsto x_n \end{align*}

de modo que s=(xn)n∈Ns = (x_n)_{n \in \mathbb{N}} es una sucesión de números reales. Además, se tiene que:

∥s∥pp=∫N∣s(n)∣p dm(n)=∑n=1∞∣xn∣p<∞\begin{align*} \|s\|_p^p = \int_{\mathbb{N}} |s(n)|^p \, dm(n) = \sum_{n = 1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \end{align*}

Así, tenemos que:

ℓp=Lp(N)=Lp(N,P(N),m)N\begin{align*} \ell_p = L_p(\mathbb{N}) = \dfrac{\mathcal{L}_p(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m)}{N} \end{align*}

Teorema de Riesz-Fischer. Teorema

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) espacio de medida, 1≤p≤∞1 \leq p \leq \infty y (fn)n∈N⊆Lp(X,Σ,μ)(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{L}_p(X, \Sigma, \mu) una sucesión de Cauchy en Lp(X,Σ,μ)L_p(X, \Sigma, \mu) entonces existen (kn)n⊆(n)n(k_n)_n \subseteq (n)_n sucesión creciente de naturales y f∈Lp(X,Σ,μ)f \in \mathcal{L}_p(X, \Sigma, \mu) tal que se cumplen las siguientes propiedades:

  • 1) fkn(x)→n→∞f(x) μ-a.e.f_{k_n} (x) \xrightarrow[n \to \infty]{} f(x) \, \mu\text{-a.e.}
  • 2) ∥fn−f∥p→n→∞0\|f_n - f\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0
  • 3) Para p=∞p = \infty se tiene que (kn)n=(n)n(k_n)_n = (n)_n

En consecuencia, Lp(X,Σ,μ)L_p(X, \Sigma, \mu) es de Banach.

📐Demostración

Consideraremos los siguientes casos:

  • Sea 1≤p<∞1 \leq p < \infty. Como (fn)n(f_n)_n es de Cauchy en Lp(X)\mathcal{L}_p(X) para cada n∈Nn \in \mathbb{N} existe kn∈Nk_n \in \mathbb{N} tal que ∀k≥kn\forall k \geq k_n se cumple que:
∥fk−fkn∥p<12n\begin{align*} \|f_k - f_{k_n}\|_p < \frac{1}{2^n} \end{align*}

Podemos considerar k1<k2<k3<…k_1 < k_2 < k_3 < \dots así tenemos que:

∥fkn+1−fkn∥p<12n∀n∈N\begin{align*} \| f_{k_{n + 1}} - f_{k_n} \|_p < \frac{1}{2^n} \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{align*}

Consideramos las funciones:

gn(x):−∑m=1n∣fkm+1(x)−fkm(x)∣→n→∞∑m=1∞∣fkm+1(x)−fkm(x)∣≕g(x)\begin{align*} g_n(x) & \coloneq \displaystyle \sum_{m = 1}^n \left|f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x)\right| \xrightarrow[n \to \infty]{} \displaystyle \sum_{m = 1}^{\infty} \left|f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x)\right| \eqqcolon g(x) \\ \end{align*}

Como gn(x)g_n(x) es una sucesión creciente de funciones medibles, se tiene que g(x)g(x) es medible. Ahora tenemos: Ahora tenemos:

∫Xg(x)p dμ=TCMlim⁡n∫Xgn(x)p dμ=lim⁡n∥∑m=1n∣fkm+1−fkm∣∥pp≤D.T.≤(lim⁡n∑m=1n∥fkm+1−fkm∥p)p≤(∑m=1∞12m)p≤1<∞\begin{align*} \int_X g(x)^p \, d \mu & \xlongequal[]{\text{TCM}} \lim_n \int_X g_n(x)^p \, d\mu = \lim_n \left\|\sum_{m = 1}^{n} |f_{k_{m + 1}} - f_{k_m}| \right\|_p^p \overset{\text{D.T.}}{\leq} \\[2ex] & \leq \left( \lim_n \sum_{m = 1}^{n} \|f_{k_{m + 1}} - f_{k_m}\|_p \right)^p \leq \left( \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{1}{2^m} \right)^p \leq 1 < \infty \end{align*}

Sea A:−{x∈X:g(x)=∞}A \coloneq \{x \in X : g(x) = \infty \}. Como su integral es finita, se sigue que μ(A)=0\mu(A) = 0. Para cada x∈X∖Ax \in X \setminus A, la serie ∑m=1∞(fkm+1(x)−fkm(x))\sum_{m = 1}^{\infty} (f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x)) es absolutamente convergente en R\mathbb{R} y, por tanto, convergente. Al ser una serie telescópica, sus sumas parciales cumplen:

∑m=1n(fkm+1(x)−fkm(x))=fkn+1(x)−fk1(x)\begin{align*} \sum_{m = 1}^{n} (f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x)) = f_{k_{n + 1}}(x) - f_{k_1}(x) \end{align*}

Tomando límites cuando n→∞n \to \infty, definimos para cada x∈X∖Ax \in X \setminus A:

f(x):−lim⁡nfkn(x)=fk1(x)+∑m=1∞(fkm+1(x)−fkm(x))∈R\begin{align*} f(x) \coloneq \lim_n f_{k_n}(x) = f_{k_1}(x) + \sum_{m = 1}^{\infty} (f_{k_{m + 1}}(x) - f_{k_m}(x)) \in \mathbb{R} \end{align*}

Ahora, tenemos que:

∫X∣f(x)−fkn(x)∣p dμ≤Fatoulim inf⁡m→∞∫X∣fkm(x)−fkn(x)∣p dμ==(lim inf⁡m→∞∥fkm−fkn∥p)p≤12np\begin{align*} \int_X |f(x) - f_{k_n}(x)|^p \, d\mu & \overset{\text{Fatou}}{\leq} \liminf_{m \to \infty} \int_X |f_{k_m}(x) - f_{k_n}(x)|^p \, d\mu =\\[2ex] & = \left(\liminf_{m \to \infty} \|f_{k_m} - f_{k_n}\|_p \right)^p \leq \frac{1}{2^{np}} \end{align*}

En particular, para kn=k1k_n = k_1 se tiene que:

∫X∣f(x)−fk1(x)∣p dμ<∞  ⟹  f−fk1∈Lp(X)  ⟹  f∈Lp(X)\begin{align*} \int_X |f(x) - f_{k_1}(x)|^p \, d\mu < \infty \implies f - f_{k_1} \in \mathcal{L}_p(X) \implies f \in \mathcal{L}_p(X) \end{align*}

Además, de (1) se deduce que:

∥f−fkn∥pp≤12np\begin{align*} \left\|f - f_{k_n}\right\|_p^p \leq \frac{1}{2^{np}} \end{align*}

Luego fn→n→∞ff_n \xrightarrow[n \to \infty]{} f en Lp(X)\mathcal{L}_p(X) y como (fn)n(f_n)_n es de Cauchy en Lp\mathcal{L}_p entonces:

∥fn−f∥p→n→∞0\begin{align*} \|f_n - f\|_p \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \end{align*}
  • Sea p=∞p = \infty. Tenemos por hipótesis que ∀ε>0\forall \varepsilon > 0 existe nε∈Nn_\varepsilon \in \mathbb{N} tal que ∀n,m≥nε\forall n, m \geq n_\varepsilon se cumple que:
∥fn−fm∥∞<ε\begin{align*} \|f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon \end{align*}

Para cada par (n,m)∈N2(n, m) \in \mathbb{N}^2 definimos:

Anm:−{x∈X:∣fn(x)−fm(x)∣≤∥fn−fm∥∞}\begin{align*} A_{nm} \coloneq \left\{x \in X : |f_n(x) - f_m(x)| \leq \|f_n - f_m\|_\infty \right\} \end{align*}

Así, Anm=X∖BnmA_{nm} = X \setminus B_{nm} donde Bnm∈ΣB_{nm} \in \Sigma y μ(Bnm)=0\mu(B_{nm}) = 0. Entonces, definimos:

B:−⋃(n,m)∈N2Bnm∈Σ con μ(B)=0\begin{align*} B \coloneq \displaystyle \bigcup_{(n,m) \in \mathbb{N}^2} B_{nm} \in \Sigma \quad \text{ con } \mu(B) = 0 \end{align*}

Por tanto, tenemos que para cada x∉Bx \notin B y para todo n,m≥nεn, m \geq n_\varepsilon se cumple que:

∣fn(x)−fm(x)∣≤∥fn−fm∥∞<ε\begin{align*} |f_n(x) - f_m(x)| \leq \|f_n - f_m\|_\infty < \varepsilon \end{align*}

Entonces, para cada x∈X∖Bx \in X \setminus B la sucesión (fn(x))n(f_n(x))_n es de Cauchy en R\mathbb{R} y por tanto tiene límite. Definimos:

∃f(x):−lim⁡nfn(x)∈R∀x∈X∖B\begin{align*} \exists f(x) \coloneq \lim_n f_n(x) \in \mathbb{R} \quad \forall x \in X \setminus B \end{align*}

Y para x∈X∖Bx \in X \setminus B, sea m≥nεm \geq n_\varepsilon entonces en (2) se tiene que:

∣f(x)−fm(x)∣=lim⁡n∣fn(x)−fm(x)∣⏟<ε≤ε\begin{align*} |f(x) - f_m(x)| = \lim_n \underbrace{|f_n(x) - f_m(x)|}_{< \varepsilon} \leq \varepsilon \end{align*}

Por tanto, tenemos que f∈L∞(X)f \in \mathcal{L}_\infty(X) ya que tomando n=nεn = n_\varepsilon llegamos a:

∣f(x)−fnε(x)∣≤ε∀x∈X∖B\begin{align*} |f(x) - f_{n_\varepsilon}(x)| \leq \varepsilon \quad \forall x \in X \setminus B \end{align*}

Y como μ(B)=0\mu(B) = 0 se tiene que:

f−fnε∈L∞(X)fnε∈L∞(X)}  ⟹  f∈L∞(X)\begin{align*} \left. \begin{array}{l} f - f_{n_\varepsilon} \in \mathcal{L}_\infty(X)\\ f_{n_\varepsilon} \in \mathcal{L}_\infty(X) \end{array} \right\} \implies f \in \mathcal{L}_\infty(X) \end{align*}

Finalmente, para n≥nεn \geq n_\varepsilon y x∈X∖Bx \in X \setminus B se tiene que:

fn→n→∞L∞(X)f\begin{align*} f_n \xrightarrow[n \to \infty]{\mathcal{L}_\infty(X)} f \end{align*}