Análisis 3 - Tema 4

Análisis III
Funciones Medibles
Teoría de la Medida
2026-01-12
53 min de lectura

Funciones medibles

Función medible. Definición

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) espacio de medida y f ⁣:X→R‾f \colon X \to \overline{\mathbb{R}} función, se dice medible (o μ\mu-medible) si:

∀α∈R se cumple {x∈X:f(x)<α}∈Σ\begin{align*} \forall \alpha \in \mathbb{R} \quad \text{ se cumple } \quad \left\{x \in X : f(x) < \alpha\right\} \in \Sigma \end{align*}

O, equivalentemente:

∀α∈R se cumple {x∈X:f(x)≤α}∈Σ\begin{align*} \forall \alpha \in \mathbb{R} \quad \text{ se cumple } \quad \left\{x \in X : f(x) \leq \alpha\right\} \in \Sigma \end{align*} ∀α∈R se cumple {x∈X:f(x)>α}∈Σ\begin{align*} \forall \alpha \in \mathbb{R} \quad \text{ se cumple } \quad \left\{x \in X : f(x) > \alpha\right\} \in \Sigma \end{align*} ∀α∈R se cumple {x∈X:f(x)≥α}∈Σ\begin{align*} \forall \alpha \in \mathbb{R} \quad \text{ se cumple } \quad \left\{x \in X : f(x) \geq \alpha\right\} \in \Sigma \end{align*}

También se puede considerar α∈R‾\alpha \in \overline{\mathbb{R}} en cualquiera de las definiciones anteriores (se denotarán como (1'), (2'), (3') y (4')).

📐Demostración

Veamos que son equivalentes:

  • 1⇒21 \Rightarrow 2) Ver que {x:f(x)≤α}∈Σ\{x : f(x) \leq \alpha\} \in \Sigma: empleando una aproximación por sucesiones decrecientes. Dado α∈R\alpha \in \mathbb{R} podemos notar que la condición f(x)≤αf(x) \leq \alpha es equivalente a que f(x)<α+εf(x) < \alpha + \varepsilon para todo ε>0\varepsilon > 0 (tomando ε=1n\varepsilon = \frac{1}{n}). Por tanto:
{x:f(x)≤α}=⋂n=1∞{x:f(x)<α+1n}∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) \leq \alpha\right\} = \displaystyle \bigcap_{n = 1}^{\infty} \left\{x : f(x) < \alpha + \frac{1}{n}\right\} \in \Sigma \end{align*}

que se cumple ya que:

  • 2⇒32 \Rightarrow 3) Ver que {x:f(x)>α}∈Σ\{x : f(x) > \alpha\} \in \Sigma: empleando que las desigualdades estrictas y no estrictas son complementarias cuando se considera el mismo valor. Dado α∈R\alpha \in \mathbb{R} entonces:
{x:f(x)>α}={x:f(x)≤α⏟∈Σ}c∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) > \alpha\right\} = \{\underbrace{x :f(x) \leq \alpha}_{\in \Sigma}\}^c \in \Sigma \end{align*}
  • 3⇒43 \Rightarrow 4) Ver que {x:f(x)≥α}∈Σ\{x : f(x) \geq \alpha\} \in \Sigma: de forma análoga a [1⇒2][1 \Rightarrow 2] empleando sucesiones crecientes, dado α∈R\alpha \in \mathbb{R} entonces:
{x:f(x)≥α}=⋂n=1∞{x:f(x)>α−1n}⏟∈Σ  por (3)∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) \geq \alpha\right\} = \displaystyle \bigcap_{n = 1}^{\infty} \underbrace{\left\{x : f(x) > \alpha - \frac{1}{n}\right\}}_{\in \Sigma \, \text{ por (3)}} \in \Sigma \end{align*}
  • 4⇒14 \Rightarrow 1) Ver que {x:f(x)<α}∈Σ\{x : f(x) < \alpha\} \in \Sigma: de forma análoga a [2⇒3][2 \Rightarrow 3] empleando el complemento, dado α∈R\alpha \in \mathbb{R} entonces:
{x:f(x)<α}={x:f(x)≥α⏟∈Σ}c∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) < \alpha\right\} = \{\underbrace{x : f(x) \geq \alpha}_{\in \Sigma}\}^c \in \Sigma \end{align*}

📐Demostración

Veamos que son equivalentes las definiciones con α∈R‾\alpha \in \overline{\mathbb{R}} y las definiciones con α∈R\alpha \in \mathbb{R}:

  • 1) Ver que (1⇔1′)(1 \Leftrightarrow 1')

  • 2) Ver que (2⇔2′)(2 \Leftrightarrow 2')

  • ⇒)\Rightarrow)) Trivial ya que R⊂R‾\mathbb{R} \subset \overline{\mathbb{R}}.

  • ⇐)\Leftarrow)) Dado α=+∞\alpha = + \infty entonces:

{x:f(x)≤+∞}=X∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) \leq + \infty\right\} = X \in \Sigma \end{align*}{x:f(x)≤−∞}=⋂n=1∞{x:f(x)≤−n}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) \leq - \infty\right\} = \displaystyle \bigcap_{n = 1}^{\infty} \underbrace{\left\{x: f(x) \leq - n\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}

  • 3) Ver que (3⇔3′)(3 \Leftrightarrow 3')

  • ⇒\Rightarrow) Trivial ya que R⊂R‾\mathbb{R} \subset \overline{\mathbb{R}}.

  • ⇐\Leftarrow) Dado α=+∞\alpha = + \infty entonces:

{x:f(x)>+∞}=∅∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) > + \infty\right\} = \emptyset \in \Sigma \end{align*}

Dado α=−∞\alpha = - \infty entonces:

{x:f(x)>−∞}=⋃n=1∞{x:f(x)>−n}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) > - \infty\right\} = \displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} \underbrace{\left\{x : f(x) > - n\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}

  • 4) Ver que (4⇔4′)(4 \Leftrightarrow 4')

  • ⇒\Rightarrow) Trivial ya que R⊂R‾\mathbb{R} \subset \overline{\mathbb{R}}.

  • ⇐\Leftarrow) Dado α=+∞\alpha = + \infty entonces:

{x:f(x)≥+∞}=⋂n=1∞{x:f(x)≥n}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) \geq + \infty\right\} = \displaystyle \bigcap_{n = 1}^{\infty} \underbrace{\left\{x : f(x) \geq n\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}

Dado α=−∞\alpha = - \infty entonces:

{x:f(x)≥−∞}=X∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) \geq - \infty\right\} = X \in \Sigma \end{align*}

Funciones medibles. Ejemplos

Se tienen los siguientes ejemplos de funciones medibles:

  1. Toda función f:N⟶R‾f : \mathbb{N} \longrightarrow \overline{\mathbb{R}} es (N,P(N),m)(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m)-medible, donde mm es la medida de conteo.

📐Demostración

Dado α∈R\alpha \in \mathbb{R}, se tiene que:

{n∈N:f(n)<α}=⋃k∈Nf(k)<α{k}∈P(N)\begin{align*} \left\{n \in \mathbb{N} : f(n) < \alpha\right\} = \displaystyle \bigcup_{ k \in \mathbb{N \\ f(k) < \alpha}} \{k\} \in \mathcal{P}(\mathbb{N}) \end{align*}

Por lo tanto, ff es medible.

  1. Sea f ⁣:RN→Rf \colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R} continua, es (RN,MN,μN\mathbb{R}^N, \mathcal{M}_N, \mu_N)-medible y (RN,BN,μN)(\mathbb{R}^N, \mathcal{B}_N, \mu_N)-medible.

📐Demostración

El intervalo [−∞,α)[ - \infty, \alpha) es abierto en R‾\overline{\mathbb{R}} con la topología usual ya que su complemento es [α,∞][\alpha, \infty] que es cerrado. Dado que ff es continua, la preimagen de un abierto es un abierto, es decir:

Aα:−f−1([−∞,α))={x∈RN:f(x)<α} es abierto\begin{align*} A_\alpha \coloneq f^{ - 1}([ - \infty, \alpha)) = \left\{x \in \mathbb{R}^N : f(x) < \alpha\right\} \quad \text{ es abierto} \end{align*}

Como todo abierto de RN\mathbb{R}^N es de Borel y además BN⊆MN\mathcal{B}_N \subseteq \mathcal{M}_N entonces:

Aα∈BN⊆MN\begin{align*} A_\alpha \in \mathcal{B}_N \subseteq \mathcal{M}_N \end{align*}
  1. Dado un espacio de medida (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) y A∈ΣA \in \Sigma y f ⁣:X→R‾f \colon X \to \overline{\mathbb{R}} medible entonces f∣Af_{|A} es medible respecto del espacio de medida (A,ΣA,μ∣Σ(A))(A, \Sigma_A, \mu_{|_{\Sigma(A)}}), donde:
  • ΣA={A∩E:E∈Σ}\Sigma_A = \left\{A \cap E: E \in \Sigma\right\}
  • μ∣Σ(A)\mu_{|_{\Sigma(A)}} es la restricción de μ\mu a ΣA\Sigma_A

📐Demostración

Como f∣A(x)=f(x)f_{|_A}(x) = f(x) para x∈Ax \in A, podemos reescribir:

{x∈A:f∣A(x)<α}=A∩{x∈X:f(x)<α}\begin{align*} \left\{x \in A: f_{|_A}(x) < \alpha\right\} = A \cap \left\{x \in X : f(x) < \alpha\right\} \end{align*}

Dado que ff es medible, entonces {x∈X:f(x)<α}∈Σ\left\{x \in X : f(x) < \alpha\right\} \in \Sigma y por lo tanto:

{x∈A:f∣A(x)<α}∈ΣA\begin{align*} \left\{x \in A: f_{|_A}(x) < \alpha\right\} \in \Sigma_A \end{align*}

Caracterización de funciones medibles. Proposición

Dada una función f:→R‾f : \to \overline{\mathbb{R}} y un espacio de medida (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) se cumple que:

f es μ-medible  ⟺  ∀O⊆R‾ abierto,f−1(O)∈Σ\begin{align*} f \text{ es } \mu \text{-medible} \iff \forall O \subseteq \overline{\mathbb{R}} \text{ abierto,} \quad f^{ - 1}( O) \in \Sigma \end{align*}

💡Nota

En R‾\overline{\mathbb{R}} se considera la topología usual extendida, que tiene como base los intervalos abiertos (a,b)(a, b) y, además, los intervalos (a,∞](a, \infty] y [−∞,b)[ - \infty, b). Por tanto, cualquier abierto O⊆R‾O \subseteq \overline{\mathbb{R}} se puede escribir como una unión (a lo sumo numerable) de intervalos abiertos disjuntos dos a dos de las formas previamente indicadas.

📐Demostración

  • ⇐\Leftarrow) Si f−1(O)∈Σf^{ - 1}(O) \in \Sigma para todo abierto O⊆R‾O \subseteq \overline{\mathbb{R}} entonces, en particular, para cada a∈Ra \in \mathbb{R} el intervalo [−∞,a)[ - \infty, a) es abierto en R‾\overline{\mathbb{R}} por lo que:
{x∈X:f(x)<α}=f−1([−∞,α))∈Σ\begin{align*} \left\{x \in X : f(x) < \alpha\right\} = f^{ - 1}([ - \infty, \alpha)) \in \Sigma \end{align*}

Por lo tanto, ff es medible por definición de función medible (1).

  • ⇒\Rightarrow) Sea ff medible y O⊆R‾O \subseteq \overline{\mathbb{R}} abierto, como todo abierto de R‾\overline{\mathbb{R}} es unión numerable de intervalos abiertos disjuntos dos a dos, es decir:
f−1(O)=f−1(⋃i∈IJi)=⋃i∈If−1(Ji)⏟∈Σ ?\begin{align*} f^{ - 1}(O) = f^{ - 1}\left(\bigcup_{i \in I} J_i\right) = \bigcup_{i \in I} \underbrace{f^{ - 1}(J_i)}_{\in \Sigma \, ?} \end{align*}

Basta ver que f−1(Ji)∈Σf^{ - 1}(J_i) \in \Sigma para todo intervalo abierto JiJ_i de R‾\overline{\mathbb{R}}.

Todo intervalo abierto JiJ_i de R‾\overline{\mathbb{R}} es de la forma:

Ji=(α,β)=[−∞,β)∩(α,+∞]\begin{align*} J_i = (\alpha, \beta) = [ - \infty, \beta) \cap (\alpha, + \infty] \end{align*}

Por lo tanto:

f−1(Ji)=f−1([−∞,β))⏟∈Σ∩f−1((α,+∞])⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} f^{ - 1}(J_i) = \underbrace{f^{ - 1}([ - \infty, \beta))}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{f^{ - 1}((\alpha, + \infty])}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}

ya que ff es medible por definición de función medible (1') y (3').

Proposición

Dado un espacio de medida (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) y (fn:X→R‾)n∈N(f_n: X \to \overline{\mathbb{R}})_{n \in \mathbb{N}} una sucesión de funciones medibles entonces se cumplen los siguientes enunciados:

  • i) max⁡{f1,…,fn}\max \left\{f_1, \dots , f_n\right\} es medible para todo n∈Nn \in \mathbb{N}.
  • ii) min⁡{f1,…,fn}\min \left\{f_1, \dots , f_n\right\} es medible para todo n∈Nn \in \mathbb{N}.
  • iii) sup⁡{f1,f2,… }\sup \left\{f_1, f_2, \dots \right\} es medible.
  • iv) inf⁡{f1,f2,… }\inf \left\{f_1, f_2, \dots \right\} es medible.
  • v) lim inf⁡n→∞fn\displaystyle \liminf_{n \to \infty} f_n es medible.
  • vi) lim sup⁡n→∞fn\displaystyle \limsup_{n \to \infty} f_n es medible.
  • vii) Si ∃lim⁡n→∞fn(x)∈R‾\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) \in \overline{\mathbb{R}} en todo x∈Xx \in X entonces lim⁡n→∞fn\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n es medible.

📐Demostración

Dado α∈R\alpha \in \mathbb{R} cualquiera:

  • i) Como el máximo es menor que α\alpha si y solo si todos los elementos son menores que α\alpha, se tiene que:
{x:max⁡{f1(x),…,fn(x)}<α}=⋂i=1n{x:fi(x)<α}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : \max \left\{f_1(x), \dots , f_n(x)\right\} < \alpha\right\} = \bigcap_{i = 1}^{n} \underbrace{\left\{x : f_i(x) < \alpha\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}
  • ii) Como el mínimo es menor que α\alpha si y solo si al menos uno de los elementos es menor que α\alpha, se tiene que:
{x:min⁡{f1(x),…,fn(x)}<α}=⋃i=1n{x:fi(x)<α}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : \min \left\{f_1(x), \dots , f_n(x)\right\} < \alpha\right\} = \bigcup_{i = 1}^{n} \underbrace{\left\{x : f_i(x) < \alpha\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}
  • iii) Como el supremo es ≤α\leq \alpha si y solo si todos los elementos son ≤α\leq \alpha, se tiene que:
{x:sup⁡k∈Nfk(x)≤α}=⋂n=1∞{x:fn(x)≤α}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k(x) \leq \alpha\right\} = \bigcap_{n = 1}^{\infty} \underbrace{\left\{x : f_n(x) \leq \alpha\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}
  • iv) Como el ínfimo es ≥α\geq \alpha si y solo si todos los elementos son ≥α\geq \alpha, se tiene que:
{x:inf⁡k∈Nfk(x)≥α}=⋂n=1∞{x:fn(x)≥α}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : \inf_{k \in \mathbb{N}} f_k(x) \geq \alpha\right\} = \bigcap_{n = 1}^{\infty} \underbrace{\left\{x : f_n(x) \geq \alpha\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}
  • v) Definimos gn(x)=inf⁡k≥nfk(x)g_n(x) = \displaystyle \inf_{k \geq n} f_k(x) y notamos que:
lim inf⁡k→∞fk(x)=sup⁡n∈N(inf⁡k≥nfk(x))=sup⁡n∈Ngn(x)\begin{align*} \liminf_{k \to \infty} f_k(x) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \left(\inf_{k \geq n} f_k(x)\right) = \sup_{n \in \mathbb{N}} g_n(x) \end{align*}

ya que gng_n es medible por iv) (al ser ínfimo de funciones medibles) y aplicando iii) sobre el supremo de las gng_n se concluye que lim inf⁡k→∞fk\liminf_{k \to \infty} f_k es medible.

  • vi) De forma análoga a v) definimos hn(x)=sup⁡k≥nfk(x)h_n(x) = \displaystyle \sup_{k \geq n} f_k(x) y notamos que:
lim sup⁡k→∞fk(x)=inf⁡n∈N(sup⁡k≥nfk(x))=inf⁡n∈Nhn(x)\begin{align*} \limsup_{k \to \infty} f_k(x) = \inf_{n \in \mathbb{N}} \left(\sup_{k \geq n} f_k(x)\right) = \inf_{n \in \mathbb{N}} h_n(x) \end{align*}

ya que hnh_n es medible por iii) (al ser supremo de funciones medibles) y aplicando iv) sobre el ínfimo de las hnh_n se concluye que lim sup⁡k→∞fk\limsup_{k \to \infty} f_k es medible.

  • vii) Si ∃lim⁡n→∞fn(x)∈R‾\exists \lim_{n \to \infty} f_n(x) \in \overline{\mathbb{R}} en todo x∈Xx \in X entonces:
lim⁡n→∞fn(x)=lim inf⁡n→∞fn(x)=lim sup⁡n→∞fn(x)\begin{align*} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \liminf_{n \to \infty} f_n(x) = \limsup_{n \to \infty} f_n(x) \end{align*}

Por lo tanto, lim⁡nfn\lim_n f_n es medible (por v) y vi)).

💡Observación

Respecto de vii) si tenemos una sucesión de funciones medibles (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} y definimos:

A:−{x∈X:∄lim⁡n→∞fn(x)∈R‾}≠∅\begin{align*} A \coloneq \left\{x \in X : \nexists \lim_{n \to \infty} f_n(x) \in \overline{\mathbb{R}}\right\} \neq \emptyset \end{align*}

Es decir, el conjunto de puntos donde la sucesión no converge (notar que no converger en R‾\overline{\mathbb{R}} implica que no converge ni a un real ni a ±∞\pm \infty).

Entonces, se tiene que AA es medible y podemos considerar el espacio de medida donde el límite sí existe:

(X∖A,ΣX∖A,μ∣Σ(X∖A))\begin{align*} (X \setminus A, \Sigma_{X \setminus A}, \mu_{|_{\Sigma(X \setminus A)}}) \end{align*}

Operaciones con funciones medibles. Proposición

Sean f,gf, g funciones medibles respecto de un espacio de medida (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) se cumplen los siguientes enunciados:

  • i) f+gf + g es medible (si f+gf + g está bien definida en todo XX)
  • ii) ∀λ∈R\forall \lambda \in \mathbb{R} se tiene que λf\lambda f es medible (si λf\lambda f está bien definida en todo XX)
  • iii) f2f^2 es medible
  • iv) fgfg es medible (si fgfg está bien definida en todo XX)

📐Demostración

  • i) Fijamos α∈R\alpha \in \mathbb{R} cualquiera. Entonces:
{x:f(x)+g(x)<α}={x:f(x)<α−g(x)}=Q denso en R=⋃q∈Q{x:f(x)<q<α−g(x)}==⋃q∈Q{{x:f(x)<q}∩{x:q<α−g(x)}}==⋃q∈Q{{x:f(x)<q}⏟∈Σ (f medible)∩{x:g(x)<α−q}⏟∈Σ (g medible)}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x) + g(x) < \alpha\right\} & = \left\{x : f(x) < \alpha - g(x)\right\} \xlongequal[]{\text{\tiny $\mathbb{Q}$ denso en $\mathbb{R}$}} \\[2ex] & = \displaystyle \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \left\{x : f(x) < q < \alpha - g(x)\right\} = \\[2ex] & = \displaystyle \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \left\{ \left\{x : f(x) < q\right\} \cap \left\{x : q < \alpha - g(x)\right\}\right\} = \\[2ex] & = \displaystyle \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \underbrace{\{ \underbrace{\left\{x : f(x) < q\right\} }_{\in \Sigma\text{ ($f$ medible)}}\cap \underbrace{\left\{x : g(x) < \alpha - q\right\}}_{\in \Sigma\text{ ($g$ medible)}}\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}

  • ii) Se dan dos casos:

  • Si λ=0\lambda = 0 entonces λf(x)=0\lambda f(x) = 0 es medible.

  • Si λ>0\lambda > 0 entonces, dado α∈R\alpha \in \mathbb{R} se tiene:

{x:λf(x)<α}={x:f(x)<αλ}∈f medibleΣ\begin{align*} \left\{x : \lambda f(x) < \alpha\right\} = \left\{x : f(x) < \frac{\alpha}{\lambda}\right\} \overset{\text{\tiny $f$ medible}}{\in} \Sigma \end{align*}
  • Si λ<0\lambda < 0, análogamente, dado α∈R\alpha \in \mathbb{R} se tiene:
{x:λf(x)<α}={x:f(x)>αλ}∈f medibleΣ\begin{align*} \left\{x : \lambda f(x) < \alpha\right\} = \left\{x : f(x) > \frac{\alpha}{\lambda}\right\} \overset{\text{\tiny $f$ medible}}{\in} \Sigma \end{align*}

  • iii) Sea α∈R\alpha \in \mathbb{R} cualquiera. Entonces:

  • Si α<0\alpha < 0 se tiene:

{x:f(x)2≤α}=∅∈Σ\begin{align*} \left\{x : f(x)^2 \leq \alpha\right\} = \emptyset \in \Sigma \end{align*}
  • Si α≥0\alpha \geq 0 se tiene:
{x:f(x)2≥α}={x:−α≤f(x)≤α}=={x:f(x)≤α}⏟f medible ⟹∈Σ∩{x:f(x)≥−α}⏟f medible ⟹∈Σ∈f medibleΣ\begin{align*} \left\{x : f(x)^2 \geq \alpha\right\} & = \left\{x : - \sqrt{\alpha} \leq f(x) \leq \sqrt{\alpha}\right\} =\\[2ex] & = \underbrace{\left\{x : f(x) \leq \sqrt{\alpha}\right\}}_{\text{\tiny $f$ medible $\implies \in \Sigma$}} \cap \underbrace{\left\{x : f(x) \geq - \sqrt{\alpha}\right\}}_{\text{\tiny $f$ medible $\implies \in \Sigma$}} \overset{\text{\tiny $f$ medible}}{\in} \Sigma \end{align*}
  • iv) Tenemos que la siguiente fórmula es válida ∀x∈X\forall x \in X:
f⋅g=12[(f+g)2−f2−g2]\begin{align*} f \cdot g = \frac{1}{2}\left[(f + g)^2 - f^2 - g^2\right] \end{align*}

excepto si xx está en alguno de los siguientes conjuntos:

A1:−{x:f(x)=∞ y g(x)∈[−∞,0)}A2:−{x:f(x)=∞ y g(x)∈(0,∞]}A3:−{x:f(x)=−∞ y g(x)∈[−∞,0)}A4:−{x:f(x)=−∞ y g(x)∈(0,∞]}A5:−{x:g(x)=∞ y f(x)∈(−∞,0)}A6:−{x:g(x)=∞ y f(x)∈(0,∞]}A7:−{x:g(x)=−∞ y f(x)∈(−∞,0)}A8:−{x:g(x)=−∞ y f(x)∈(0,∞]}\begin{align*} A_1 & \coloneq \left\{x : f(x) = \infty \text{ y } g(x) \in [ - \infty, 0)\right\}\\ A_2 & \coloneq \left\{x : f(x) = \infty \text{ y } g(x) \in (0, \infty]\right\}\\ A_3 & \coloneq \left\{x : f(x) = - \infty \text{ y } g(x) \in [ - \infty, 0)\right\}\\ A_4 & \coloneq \left\{x : f(x) = - \infty \text{ y } g(x) \in (0, \infty]\right\}\\ A_5 & \coloneq \left\{x : g(x) = \infty \text{ y } f(x) \in (- \infty, 0)\right\}\\ A_6 & \coloneq \left\{x : g(x) = \infty \text{ y } f(x) \in (0, \infty]\right\}\\ A_7 & \coloneq \left\{x : g(x) = - \infty \text{ y } f(x) \in (- \infty, 0)\right\}\\ A_8 & \coloneq \left\{x : g(x) = - \infty \text{ y } f(x) \in (0, \infty]\right\} \end{align*}

Se tiene que Ai∈ΣA_i \in \Sigma para todo i=1,…,8i = 1, \dots, 8 ya que se definen como la intersección de dos conjuntos medibles (por ser ff y gg medibles). Definimos además:

A9:−X∖⋃i=18Ai∈Σ\begin{align*} A_9 \coloneq X \setminus \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{8} A_i \in \Sigma \end{align*}

Notamos entonces que AiA_i son disjuntos dos a dos y que su unión es todo XX, así tenemos que:

  • Para i=1,…,8i = 1, \dots, 8 se cumple que f⋅g∣Ai≡∞f \cdot g|_{A_i} \equiv \infty o bien f⋅g∣Ai≡−∞f \cdot g|_{A_i} \equiv - \infty luego:
f⋅g∣Ai medible respecto (Ai,Σ(Ai),μ∣Σ(Ai))\begin{align*} f \cdot g|_{A_i} \text{ medible respecto } \left(A_i, \Sigma(A_i), \mu|_{\Sigma(A_i)}\right) \end{align*}
  • Para i=9i = 9 se tiene:
f⋅g∣A9=12[(f+g)2−f2−g2] medible resp. (A9,Σ(A9),μ∣Σ(A9))\begin{align*} f \cdot g|_{A_9} = \frac{1}{2}\left[(f + g)^2 - f^2 - g^2\right] \quad \text{ medible resp. } \left(A_9, \Sigma(A_9), \mu|_{\Sigma(A_9)}\right) \end{align*}

Así ∀i∈{1,…,9}\forall i \in \{1, \dots, 9\}, la función f⋅g∣Aif\cdot g|_{A_i} es medible respecto de (Ai,Σ(Ai),μ∣Σ(Ai))\left(A_i, \Sigma(A_i), \mu|_{\Sigma(A_i)}\right) luego, ∀i∈{1,…,9}\forall i \in \{1, \dots, 9\} tenemos:

f⋅g⋅XAi es medible respecto (X,Σ,μ)\begin{align*} f\cdot g \cdot \mathcal{X}_{A_i} \quad \text{ es medible respecto } (X, \Sigma, \mu) \end{align*}

Entonces:

∑i=19f⋅g⋅XAi=f⋅g medible respecto (X,Σ,μ)\begin{align*} \displaystyle \sum_{i = 1}^{9} f \cdot g \cdot \mathcal{X}_{A_i} = f \cdot g \quad \text{ medible respecto } (X, \Sigma, \mu) \end{align*}

Y esto está bien definido en todo XX ya que Ai∩Aj=∅A_i \cap A_j = \emptyset si i≠ji \neq j.

💡Observación

En general, la composición de funciones medibles no tiene sentido salvo en casos especiales. Existen funciones medibles fgfg respecto de (R,M1,μ1)(\mathbb{R}, \mathcal{M}_1, \mu_1) tales que g∘fg \circ f no es medible respecto de (R,M1,μ1)(\mathbb{R}, \mathcal{M}_1, \mu_1).

Composición de funciones medibles y continuas. Proposición

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) espacio de medida, f:X→R‾f: X \to \overline{\mathbb{R}} medible y g:A→R‾g: A \to \overline{\mathbb{R}} continua con f(X)⊆Af(X) \subseteq A se tiene que:

g∘f es medible\begin{align*} g \circ f \quad \text{ es medible} \end{align*}

📐Demostración

Sea α∈R\alpha \in \mathbb{R} cualquiera entonces:

(g∘f)−1([−∞,α))=f−1(g−1([−∞,α)))\begin{align*} (g \circ f)^{ - 1}([ - \infty, \alpha)) = f^{ - 1}\left(g^{ - 1}([ - \infty, \alpha))\right) \end{align*}

Como [−∞,α)[ - \infty, \alpha) es abierto de R‾\overline{\mathbb{R}} y gg continua, entonces:

g−1([−∞,α))⊆A es abierto de A\begin{align*} g^{ - 1}([ - \infty, \alpha)) \subseteq A \text{ es abierto de } A \end{align*}

Como ff medible, por la caracterízación de funciones medibles se tiene que:

f−1(g−1([−∞,α)))∈Σ\begin{align*} f^{ - 1}\left(g^{ - 1}([ - \infty, \alpha))\right) \in \Sigma \end{align*}

Corolario

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) espacio de medida y f:X→R‾f: X \to \overline{\mathbb{R}} medible tal que f(x)≠0f(x) \neq 0 para todo x∈Xx \in X entonces:

1f es medible\begin{align*} \frac{1}{f} \quad \text{ es medible} \end{align*}

📐Demostración

Definimos la función gg como:

g:R‾∖{0}⟶R‾y⟼g(y)=1y\begin{align*} g : \overline{\mathbb{R}} \setminus \{0\} & \longrightarrow \overline{\mathbb{R}} \\[1ex] y & \longmapsto g(y) = \frac{1}{y} \end{align*}

Como gg continua en R‾∖{0}\overline{\mathbb{R}} \setminus \{0\} y f(X)⊆R‾∖{0}f(X) \subseteq \overline{\mathbb{R}} \setminus \{0\}, por la proposición anterior se tiene:

g∘f=1f es medible\begin{align*} g \circ f = \frac{1}{f} \quad \text{ es medible} \end{align*}

Proposición

Sean las funciones:

f ⁣:R→R medible respecto de (R,B1,μ1)g ⁣:R→R medible respecto de (R,B1,μ1)}  ⟹  g∘f medible respecto de (R,B1,μ1)\begin{align*} \left. \begin{array}{l} f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ medible respecto de } (\mathbb{R}, \mathcal{B}_1, \mu_1) \\[2ex] g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ medible respecto de } (\mathbb{R}, \mathcal{B}_1, \mu_1) \end{array} \right\} \implies g \circ f \text{ medible respecto de } (\mathbb{R}, \mathcal{B}_1, \mu_1) \end{align*}

📐Demostración

Se sigue de los siguientes pasos:

  • 1) Se define A:−{B∈B1:f−1(B)∈B1}\mathcal{A} \coloneq \left\{B \in \mathcal{B}_1 : f^{ - 1}(B) \in \mathcal{B}_1\right\}. Es decir, A\mathcal{A} es el conjunto de todos los borelianos BB de R\mathbb{R} cuya preimagen por ff es también boreliano.

Notar que τR⊆A\tau_\mathbb{R} \subseteq \mathcal{A} ya que ff es medible respecto de (R,B1,μ1)(\mathbb{R}, \mathcal{B}_1, \mu_1) implica que:

B∈τR  ⟹  f−1(B)∈B1\begin{align*} B \in \tau_\mathbb{R} \implies f^{ - 1} (B) \in \mathcal{B}_1 \end{align*}

  • 2) Ver que A\mathcal{A} es una σ\sigma-álgebra:

  • i) Ver que ∅∈A\emptyset \in \mathcal{A}: trivial ya que:

∅∈τR⊆A\begin{align*} \emptyset \in \tau_\mathbb{R} \subseteq \mathcal{A} \end{align*}
  • ii) Ver que es cerrada para uniones numerables: Sea {Ai}i∈N⊆A\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{A} entonces:
f−1(⋃i∈NAi)=⋃i∈Nf−1(Ai)⏟∈B1∈B1  ⟹  ⋃i∈NAi∈A\begin{align*} f^{ - 1}\left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i\right) = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} \underbrace{f^{ - 1}(A_i)}_{\in \mathcal{B}_1} \in \mathcal{B}_1 \implies \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \in \mathcal{A} \end{align*}

Donde hemos usado que Ai∈A  ⟹  f−1(Ai)∈B1A_i \in \mathcal{A} \implies f^{ - 1}(A_i) \in \mathcal{B}_1.

  • iii) Ver que es cerrada para complementos: Sea A∈AA \in \mathcal{A} entonces:
f−1(R∖A)=R∖f−1(A)⏟∈B1∈B1  ⟹  R∖A∈A\begin{align*} f^{ - 1}(\mathbb{R} \setminus A) = \mathbb{R} \setminus \underbrace{f^{ - 1}(A)}_{\in \mathcal{B}_1} \in \mathcal{B}_1 \implies \mathbb{R} \setminus A \in \mathcal{A} \end{align*}

Donde hemos usado que A∈A  ⟹  f−1(A)∈B1A \in \mathcal{A} \implies f^{ - 1}(A) \in \mathcal{B}_1.

  • 3) Ver que A=B1\mathcal{A} = \mathcal{B}_1:
τR⊆A⊆B1A es σ-aˊlgebra  ⟹  B1⊆A}  ⟹  A=B1\begin{align*} \left. \begin{array}{l} \tau_\mathbb{R} \subseteq \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}_1\\ \mathcal{A} \text{ es } \sigma\text{-álgebra} \implies \mathcal{B}_1 \subseteq \mathcal{A} \end{array} \right\} \implies A = \mathcal{B}_1 \end{align*}
  • 4) Caracterización de medibilidad: Sea f:R→Rf : \mathbb{R} \to\mathbb{R}, por la caracterización de funciones medibles se tiene que ff es medible respecto de (R,B1,μ1)(\mathbb{R}, \mathcal{B}_1, \mu_1) si y solo si:
∀B∈B1:f−1(B)∈B1\begin{align*} \forall B \in \mathcal{B}_1 : f^{ - 1}(B) \in \mathcal{B}_1 \end{align*}

Como A=B1\mathcal{A} = \mathcal{B}_1 se tiene la equivalencia.

  • 5) Medibilidad de g∘fg \circ f respecto de (R,B1,μ1)(\mathbb{R}, \mathcal{B}_1, \mu_1): dado O⊆RO \subseteq \mathbb{R} abierto cualquiera:
(g∘f)−1(O)=f−1(g−1(O)⏟∈B1 g medible)∈B1\begin{align*} (g \circ f)^{ - 1}(O) = f^{ - 1}(\underbrace{g^{ - 1}(O)}_{\in \mathcal{B}_1 \text{ $g \,$medible}}) \in \mathcal{B}_1 \end{align*}

Por lo tanto, g∘fg \circ f es medible respecto de (R,B1,μ1)(\mathbb{R}, \mathcal{B}_1, \mu_1).

Función característica. Definición

Sea XX conjunto y A⊆XA \subseteq X, se dice función característica o indicadora de AA a la función:

XA:X⟶{0,1}⊆Rx⟼XA(x)={1 si x∈A0 si x∉A\begin{align*} \mathcal{X}_A : X & \longrightarrow \{0,1\} \subseteq \mathbb{R} \\[1ex] x & \longmapsto \mathcal{X}_{A}(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ si } x \in A \\[1ex] 0 & \text{ si } x \notin A \end{array} \right. \\ \end{align*}

Medibilidad de la función característica. Proposición

Si (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) es un espacio de medida entonces se tiene:

XA es μ-medible  ⟺  A∈Σ\begin{align*} \mathcal{X}_A \text{ es } \mu\text{-medible} \iff A \in \Sigma\\ \end{align*}

📐Demostración

  • ⇒\Rightarrow) Sea XA\mathcal{X}_A medible, entonces ∀α∈R\forall \alpha \in \mathbb{R} se tiene:
{x:XA(x)<α}∈Σ\begin{align*} \left\{x : \mathcal{X}_A(x) < \alpha\right\} \in \Sigma \end{align*}

En particular, tomando α=1\alpha = 1 se tiene:

{x:XA<1}={x:XA(x)=0}=X∖A∈Σ  ⟹  A=(Ac)c∈Σ\begin{align*} \left\{x : \mathcal{X}_A < 1 \right\} = \left\{x : \mathcal{X}_A(x) = 0\right\} = X \setminus A \in \Sigma \implies A = (A^c)^c \in \Sigma \end{align*}
  • ⇐\Leftarrow) Sea A∈ΣA \in \Sigma, entonces:

Función simple. Definición

Se dice que s:X→R‾s : X \to \overline{\mathbb{R}} es una función simple si su imagen es finita, es decir:

s(X) es un conjunto finito\begin{align*} s(X) \quad \text{ es un conjunto finito} \end{align*}

O, equivalentemente, si existe n∈Nn \in \mathbb{N} tal que:

s(X)={λ1,…,λn} con λi∈R‾\begin{align*} s(X) = \left\{\lambda_1, \dots, \lambda_n\right\} \quad \text{ con } \lambda_i \in \overline{\mathbb{R}}\\ \end{align*}

Expresión canónica. Definición

Sea s(X)={λ1<λ2<⋯<λn}s(X) = \left\{\lambda_1 < \lambda_2 < \dots < \lambda_n \right\} con n∈Nn \in \mathbb{N}, se dice expresión canónica de ss a:

s=∑i=1nλiXAi donde Ai=s−1({λi})={x∈X:s(x)=λi}\begin{align*} s = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i \mathcal{X}_{A_i} \quad \text{ donde } A_i = s^{ - 1}(\{\lambda_i\}) = \left\{x \in X : s(x) = \lambda_i\right\}\\ \end{align*}

✏️Ejercicio

Demostrar que dado (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) espacio de medida, s:X→R‾s : X \to \overline{\mathbb{R}} es una función simple medible sii para todo i=1,…,ni = 1, \dots , n se tiene que Ai∈ΣA_i \in \Sigma.

Para esto, consideramos los dos sentidos de la implicación:

  • ⇒\Rightarrow) Basta notar que para todo i=1,…,ni = 1, \dots , n:
Ai=s−1(λi)={x:s(x)≤λi}⏟∈Σ∩{x:s(x)≥λi}⏟∈Σ∈Σ\begin{align*} A_i = s^{ - 1}(\lambda_i) = \underbrace{\left\{x : s(x) \leq \lambda_i\right\}}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{\left\{x : s(x) \geq \lambda_i\right\}}_{\in \Sigma} \in \Sigma \end{align*}
  • ⇐\Leftarrow) Como los AiA_i son disjuntos dos a dos, el valor ∑i=1nλiXAi(x)\sum_{i = 1}^n \lambda_i \mathcal{X}_{A_i}(x) está bien definida para todo x∈Xx \in X. Para todo ii se tiene que AiA_i medible entonces:
∑i=1nλiXAi(x)⏟medible es  medible\begin{align*} \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i \underbrace{\mathcal{X}_{A_i}(x)}_{\text{\tiny medible}} \quad \text{ es } \text{ medible} \end{align*}

Parte positiva y negativa de una función. Definición

Sea f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}} una función, definimos la parte positiva como la función:

f+(x)=max⁡{f(x),0}∀x∈X\begin{align*} f^{ + }(x) = \max \{f(x), 0\} \quad \forall x \in X \end{align*}

y llamamos parte negativa a la función:

f−(x)=−[f(x)−f+(x)]∀x∈X\begin{align*} f^{ - }(x) = - \left[f(x) - f^{ + }(x)\right] \quad \forall x \in X \end{align*}

Así, se tiene que:

f=f+−f− y ∣f∣=f++f−\begin{align*} f = f^{ + } - f^{ - } \quad \text{ y } \quad |f| = f^{ + } + f^{ - }\\ \end{align*}

💡Nota

Sea f:X→R‾f: X \to \overline{\mathbb{R}}, para cada x0∈Xx_0 \in X al menos uno de los valores f+(x0)f^{ + }(x_0) y f−(x0)f^{ - }(x_0) es no nulo.

💡Nota

Si f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}} es medible entonces f+f^{ + } y f−f^{ - } son medibles.

Teorema

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) espacio de medida, para toda función medible f:X→[0,∞]f: X \to [0, \infty] existe una sucesión de funciones simples medibles {sn:X→[0,∞]}n∈N\{s_n: X \to [0, \infty]\}_{n \in \mathbb{N}} tal que:

  1. ∀n∈N,∀x∈X\forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in X se tiene que 0≤sn(x)≤sn+1(x)≤f(x)0 \leq s_n(x) \leq s_{n + 1}(x) \leq f(x)
  2. ∀n∈N,∀x∈X\forall n \in \mathbb{N}, \quad \forall x \in X se tiene que ∃lim⁡n→∞sn(x)=f(x)\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty} s_n(x) = f(x)

📐Demostración

Para cada n∈Nn \in \mathbb{N} consideramos los conjuntos medibles:

En:−f−1([n,∞])∈Σ\begin{align*} E_n \coloneq f^{ - 1}([n, \infty]) \in \Sigma \end{align*}

Y definimos los conjuntos disjuntos dos a dos:

En,i:−f−1([i−12n,i2n))∈Σ∀i=1,…,n2n\begin{align*} E_{n, i} \coloneq f^{ - 1}\left(\left[\frac{i - 1}{2^n}, \frac{i}{2^n}\right)\right) \in \Sigma \quad \forall i = 1, \dots , n 2^n \end{align*}

Definimos la sucesión de funciones simples medibles:

sn(x):−[∑i=1n2ni−12nXEn,i(x)]+nXEn(x)∀x∈X\begin{align*} s_n(x) \coloneq \left[\displaystyle \sum_{i = 1}^{n2^n} \frac{i - 1}{2^n} \mathcal{X}_{E_{n, i}}(x)\right] + n \mathcal{X}_{E_n}(x) \quad \forall x \in X \end{align*}

Para ver la convergencia, tomamos x0∈Xx_0 \in X cualquiera y entonces se dan dos casos:

  • Si f(x0)=∞f(x_0) = \infty entonces:
sn(x0)=n→n→∞∞=f(x0)\begin{align*} s_n(x_0) = n \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty = f(x_0) \end{align*}
  • Si 0≤f(x0)<∞0 \leq f(x_0) < \infty entonces, sea m∈Nm \in \mathbb{N} el natural más pequeño tal que f(x0)<mf(x_0) < m:
s1(x0)s2(x0)…sm−1(x0)≤sm(x0)===1<2<…<m−1\begin{array}{ccccc} s_1(x_0) & s_2(x_0) & \ldots & s_{m - 1}(x_0) & \leq s_m(x_0) \\ = & = & & = & \\ 1 & < 2 & < \dots & < m - 1 & \end{array}

Y para n≥mn \geq m denotando ini_n el único natural 1≤in≤n2n1 \leq i_n \leq n 2^n tal que:

f(x0)∈[in−12n,in2n)=[2in−22n+1,2in−12n+1)∪[2in−12n+1,2in2n+1)\begin{align*} f(x_0) \in \left[\frac{i_n - 1}{2^n}, \frac{i_n}{2^n}\right) = \left[\frac{2i_n - 2}{2^{n + 1}}, \frac{2i_n - 1}{2^{n + 1}}\right) \cup \left[\frac{2i_n - 1}{2^{n + 1}}, \frac{2i_n}{2^{n + 1}}\right) \end{align*}

se tiene que:

sn(x0)=in−12n  ⟹  sn+1(x)∈{2in−22n+1,2in−12n+1}  ⟹    ⟹  sn+1(x0)≥2in−22n+1=sn(x0)  ⟹    ⟹  in−12n=sn(x0)≤f(x0)<in2n=in−12n+12n\begin{align*} s_n(x_0) = \frac{i_n - 1}{2^n} & \implies s_{n + 1}(x) \in \left\{\frac{2i_n - 2}{2^{n + 1}}, \frac{2i_n - 1}{2^{n + 1}} \right\} \implies \\[3ex] & \implies s_{n + 1}(x_0) \geq \frac{2i_n - 2}{2^{n + 1}} = s_n(x_0) \implies \\[3ex] & \implies \frac{i_n - 1}{2^n} = s_n(x_0) \leq f(x_0) < \frac{i_n}{2^n} = \frac{i_n - 1}{2^n} + \frac{1}{2^n} \end{align*}

Como (sn(x0))n∈N(s_n(x_0))_{n \in \mathbb{N}} es creciente entonces:

∃lim⁡n→∞sn(x0)=l\begin{align*} \exists \lim_{n \to \infty} s_n(x_0) = l \end{align*}

Si n→∞n \to \infty entonces:

l≤f(x0)≤l+0\begin{align*} l \leq f(x_0) \leq l + 0 \end{align*}

💡Observación

Si ff es acotada (en R\mathbb{R}), la convergencia de sns_n a ff en la demostración es uniforme.