Análisis 3 - Tema 2

Análisis III
Medida
Espacios de medida
2026-01-12
39 min de lectura

Espacios de medida

Espacio de medida. Definición

Se llama espacio de medida a un triplete (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) donde:

  • i) XX es un conjunto

  • ii) Σ\Sigma es una σ\sigma-álgebra de XX, es decir, Σ⊆P(X)\Sigma \subseteq \mathcal{P}(X) con las propiedades:

  • iii) μ\mu es una medida, esto es, una aplicación:

μ:Σ⟶[0,∞]E⟼μ(E)\begin{align*} \mu : \Sigma & \longrightarrow [0, \infty]\\ E & \longmapsto \mu(E) \end{align*}

que cumple las siguientes propiedades:

  1. μ(∅)=0\mu(\emptyset ) = 0
  2. Sean {Ei}i∈N⊆Σ\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma con Ei∩Ej=∅  si i≠jE_i \cap E_j = \emptyset \, \text{ si } i \neq j entonces: μ(⋃i∈NEi)=∑i=1∞μ(Ei)\mu\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(E_i)

A los elementos de Σ\Sigma se les llama subconjuntos medibles (μ\mu-medibles) de XX.

Caracterización de las σ\sigma-álgebras. Proposición

Sea Σ\Sigma una σ\sigma-álgebra de XX entonces se cumplen los siguientes enunciados:

  • a) Sean {Ei}i∈N⊆Σ\left\{E_i\right\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma entonces ⋂i∈NEi∈Σ\bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i \in \Sigma
  • b) Sean E,F∈ΣE, F \in \Sigma entonces se tiene:

📐Demostración

  • a) Sea {Ei}i∈N⊆Σ\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma, por De Morgan se tiene:
⋂i∈NEi=X∖(⋃i∈N(X∖Ei))\begin{align*} \displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i = X \setminus \left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} (X \setminus E_i)\right) \end{align*}

donde se tiene:

  • Cada Ei∈ΣE_i \in \Sigma por hipótesis ⇒esp. med.ii.c) defX∖Ei∈Σ\xRightarrow[\text{esp. med.}]{\text{ii.c) def}} X \setminus E_i \in \Sigma
  • Por definición de espacio de medida ii.a) tenemos que ⋃i∈N(X∖Ei)∈Σ\bigcup_{i \in \mathbb{N}} (X \setminus E_i) \in \Sigma
  • Por definición de espacio de medida ii.c) tenemos: X∖(⋃i∈N(X∖Ei))∈ΣX \setminus \left(\bigcup_{i \in \mathbb{N}} (X \setminus E_i)\right) \in \Sigma

Por lo tanto:

⋂i∈NEi∈Σ\begin{align*} \displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i \in \Sigma \end{align*}
  • b.1) Sea E,F∈ΣE, F \in \Sigma, notar que podemos escribir:
E∪F=E⏟∈Σ∪F⏟∈Σ∪∅⏟∈Σ∪∅⏟∈Σ∪∅⏟∈Σ∪…∈2Σ\begin{align*} E \cup F = \underbrace{E}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{F}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\emptyset }_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\emptyset }_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\emptyset }_{\in \Sigma} \cup \ldots \overset{2}{\in} \Sigma \end{align*}

que es unión numerable de conjuntos de Σ\Sigma ya que:

  • E,F∈ΣE, F \in \Sigma por hipótesis
  • ∅∈Σ\emptyset \in \Sigma por definición de espacio de medida ii.a)
  • Por definción de espacio de medida ii.b) la σ\sigma-álgebra es cerrada bajo uniones numerables
  • b.2) Sean E,F∈ΣE, F \in \Sigma, notar que:
E∩F=X⏟∈Σ∩E⏟∈Σ∩F⏟∈Σ∩X⏟∈Σ∩X⏟∈Σ∩X⏟∈Σ∩…∈a)Σ\begin{align*} E \cap F = \underbrace{X}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{E}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{F}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{X}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{X}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{X}_{\in \Sigma} \cap \ldots \overset{a)}{\in} \Sigma \end{align*}

que es intersección numerable de conjuntos de Σ\Sigma ya que:

  • b.3) Sea E,F∈ΣE, F \in \Sigma, notar que podemos escribir:
E∖F=E⏟∈Σ∩(X∖F)⏟∈Σ∈b.2)Σ\begin{align*} E \setminus F = \underbrace{E}_{\in \Sigma} \cap \underbrace{(X \setminus F)}_{\in \Sigma} \overset{b.2)}{\in} \Sigma \end{align*}

ya que:

  • E∈ΣE \in \Sigma por hipótesis
  • Como F∈ΣF \in \Sigma por hipótesis, entonces X∖F∈ΣX \setminus F \in \Sigma por definición de espacio de medida ii.c)
  • Por el punto b.2) como E,(X∖F)∈ΣE, (X \setminus F) \in \Sigma entonces E∩(X∖F)∈ΣE \cap (X \setminus F) \in \Sigma

Proposición

Sea un espacio medible (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) se cumplen las siguientes propiedades:

  • a) Sean E,F∈ΣE, F\in \Sigma con F⊆EF \subseteq E entonces:

  • b) Sean {Ei}i∈N⊆Σ\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma tales que Ei⊆Ei+1∀iE_i \subseteq E_{i + 1} \quad \forall i entonces:

μ(⋃i∈NEi)=lim⁡nμ(En)\begin{align*} \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \lim_n \mu(E_n) \end{align*}
  • c) Sean {Ei}i∈N⊆Σ\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma tales que Ei+1⊆Ei∀iE_{i + 1} \subseteq E_i \quad \forall i y μ(E1)<∞\mu(E_1) < \infty entonces:
μ(⋂i∈NEi)=lim⁡nμ(En)\begin{align*} \mu\left(\displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \lim_n \mu(E_n) \end{align*}

📐Demostración

  • a.1) Sean E,F∈ΣE, F \in \Sigma con F⊆EF \subseteq E entonces:
E=(E∖F)⏟∈Σ∪F⏟∈Σ∪∅⏟∈Σ∪…⇒esp. med.iii.a) def.μ(E)=μ(E∖F)+μ(F)+0+…  ⟹    ⟹  μ(E)=μ(E∖F)⏟≥0+μ(F)≥μ(F)\begin{align*} E = \underbrace{\left(E \setminus F\right)}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{F}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\emptyset }_{\in \Sigma} \cup \ldots & \xRightarrow[\text{esp. med.}]{\text{iii.a) def.}} \mu(E) = \mu(E \setminus F) + \mu(F) + 0 + \ldots \implies \\[2ex] & \implies \mu(E) = \underbrace{\mu(E \setminus F)}_{\geq 0} + \mu(F) \geq \mu(F) \end{align*}

donde se ha usado que como E,F∈ΣE, F \in \Sigma por la caracterización de las σ\sigma-álgebras b.3) se tiene que E∖F∈ΣE \setminus F \in \Sigma.

  • a.2) Siguiendo con el razonamiento anterior, si μ(F)<∞\mu(F) < \infty entonces podemos restarlo a ambos lados de la igualdad:
μ(E)=μ(E∖F)+μ(F)  ⟹  μ(E∖F)=μ(E)−μ(F)∈[0,∞]\begin{align*} \mu(E) = \mu(E \setminus F) + \mu(F) \implies \mu(E \setminus F) = \mu(E) - \mu(F) \in [0, \infty] \end{align*}
  • b) Sea {Ei}i∈N⊆Σ\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma sucesión con Ei⊆Ei+1E_i \subseteq E_{i + 1}, desjuntificamos la unión:
⋃i∈NEi=E1⏟∈Σ∪(E2∖E1)⏟∈Σ∪(E3∖E2)⏟∈Σ∪(E4∖E3)⏟∈Σ∪…⏟disjuntos dos a dos  ⟹    ⟹  μ(⋃i∈NEi)=esp. med.iii.b) def.μ(E1)+∑i=1∞μ(Ei+1∖Ei)\begin{align*} \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i & = \underbrace{\underbrace{E_1}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\left(E_2 \setminus E_1\right)}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\left(E_3 \setminus E_2\right)}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\left(E_4 \setminus E_3\right)}_{\in \Sigma} \cup \ldots}_{\text{disjuntos dos a dos}} \implies \\[2ex] & \implies \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) \xlongequal[\text{esp. med.}]{\text{iii.b) def.}} \mu(E_1) + \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(E_{i + 1} \setminus E_i) \end{align*}

ya que por la caracterización de las σ\sigma-álgebras b.3) se tiene que Ei+1∖Ei∈ΣE_{i + 1} \setminus E_i \in \Sigma para todo ii.

Y ahora se presentan dos casos:

  • c) Sea μ(E1)<∞\mu(E_1) < \infty y Ei⊇Ei+1∀iE_i \supseteq E_{i + 1} \quad \forall i consideramos la diferencia:
E1∖⋂i∈NEi=⋃i∈N[E1∖Ei]\begin{align*} E_1 \setminus \displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i = \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} \left[E_1 \setminus E_i\right] \end{align*}

Como {Ei}i∈N\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} es sucesión de conjuntos decreciente, entonces {E1∖Ei}i∈N\{E_1 \setminus E_i\}_{i \in \mathbb{N}} es sucesión creciente de conjuntos, ya que:

Ei+1⊆Ei  ⟹  E1∖Ei⊆E1∖Ei+1∀i\begin{align*} E_{i + 1} \subseteq E_i \implies E_1 \setminus E_i \subseteq E_1 \setminus E_{i + 1} \quad \forall i \end{align*}

Aplicando ahora el apartado b) sobre la sucesión {E1∖Ei}i∈N\{E_1 \setminus E_i\}_{i \in \mathbb{N}} tenemos:

μ(⋃i∈N[E1∖Ei])=lim⁡nμ(E1∖En)\begin{align*} \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} \left[E_1 \setminus E_i\right]\right) = \lim_n \mu(E_1 \setminus E_n) \end{align*}

Y por la diferencia de conjuntos vista al principio del apartado c) tenemos:

μ(E1∖⋂i∈NEi)=lim⁡nμ(E1∖En)\begin{align*} \mu\left(E_1 \setminus \displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \lim_n \mu(E_1 \setminus E_n) \end{align*}

Como μ(E1)<∞\mu(E_1) < \infty podemos aplicar el apartado a.2):

μ(E1)−μ(⋂i∈NEi)=μ(E1∖⋂i∈NEi)=lim⁡nμ(E1∖En)=lim⁡n[μ(E1)−μ(En)]\begin{align*} \mu(E_1) - \mu\left(\displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \mu \left(E_1 \setminus \displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \lim_n \mu(E_1 \setminus E_n) = \lim_n \left[\mu(E_1) - \mu(E_n)\right] \end{align*}

Y como μ(E1)\mu(E_1) es finito, podemos restarlo a ambos lados de la igualdad:

μ(⋂i∈NEi)=lim⁡nμ(En)\begin{align*} \mu\left(\displaystyle \bigcap_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \lim_n \mu(E_n)\\ \end{align*}

✏️Ejercicio

Dado un espacio de medida (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) y A∈ΣA \in \Sigma, se define:

Σ(A):−{B∩A⏟∈Σ:B∈Σ}\begin{align*} \Sigma(A) \coloneq \{\underbrace{B \cap A}_{\in \Sigma} : B \in \Sigma\} \end{align*}

Entonces, se pide demostrar que (A,Σ(A),μ∣Σ(A))(A, \Sigma(A), \mu_{|\Sigma(A)}) es un espacio de medida.

Para ello, miremos que cumple las tres propiedades de la definición de espacio de medida:

  • [i)] AA es un conjunto. Se cumple por hipótesis.

  • [ii)] Σ(A)\Sigma(A) es una σ\sigma-álgebra de AA. Para ver que es así, veamos que cumple las tres propiedades de la σ\sigma-álgebra:

  • iii) μ∣Σ(A)\mu_{|\Sigma(A)} es una medida. Veamos que cumple las dos propiedades de la medida:

  • [iii.a)] μ∣Σ(A)(∅)=0\mu_{|\Sigma(A)}(\emptyset) = 0. Se cumple ya que:

μ∣Σ(A)(∅)=μ(∅)=0\begin{align*} \mu_{|\Sigma(A)}(\emptyset) = \mu(\emptyset) = 0 \end{align*}
  • iii.b) Sea {Ci}i∈N⊆Σ(A)\{C_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma(A) con Ci∩Cj=∅  si i≠jC_i \cap C_j = \emptyset \, \text{ si } i \neq j. Sabemos que Ci=Bi∩AC_i = B_i \cap A y que podemos reescribir la unión numerable como:
⋃i∈NCi=⋃i∈N(Bi∩A)=(⋃i∈NBi)∩A∈Σ(A)\begin{align*} \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} C_i = \displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} (B_i \cap A) = \left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i\right) \cap A \in \Sigma(A) \end{align*}

Por otro lado, como Ci∩Cj=∅  si i≠jC_i \cap C_j = \emptyset \, \text{ si } i \neq j entonces:

(Bi∩A)∩(Bj∩A)=(Bi∩Bj)∩A=∅  ⟹  Bi∩Bj=∅  si i≠j\begin{align*} (B_i \cap A) \cap (B_j \cap A) = (B_i \cap B_j) \cap A = \emptyset \implies B_i \cap B_j = \emptyset \, \text{ si } i \neq j \end{align*}

Por lo tanto, aplicando la propiedad iii.b) de la medida μ\mu tenemos:

μ∣Σ(A)(⋃i∈NCi)=μ((⋃i∈NBi)∩A)==μ(⋃i∈NBi)−μ((⋃i∈NBi)∩Ac)==∑i=1∞μ(Bi)−μ((⋃i∈NBi)∩Ac)==∑i=1∞[μ(Bi)−μ(Bi∩Ac)]==∑i=1∞μ(Bi∩A)=∑i=1∞μ∣Σ(A)(Ci)\begin{align*} \mu_{|\Sigma(A)}\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} C_i\right) & = \mu\left(\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i\right) \cap A\right) = \\[2ex] & = \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i\right) - \mu\left(\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i\right) \cap A^c\right) = \\[2ex] & = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(B_i) - \mu\left(\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B_i\right) \cap A^c\right) = \\[2ex] & = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} [\mu(B_i) - \mu(B_i \cap A^c)] = \\[2ex] & =\displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(B_i \cap A) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu_{|\Sigma(A)}(C_i) \end{align*}

✏️Ejemplo. Medida trivial

Sea (X,{∅,X},μ)(X, \{\emptyset, X\}, \mu) donde:

μ(E)={0 si E=∅∞ si E=X\begin{align*} \mu(E) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{ si } E = \emptyset \\[2ex] \infty & \text{ si } E = X \end{array} \right. \end{align*}

✏️Ejemplo. Medida nula

Sea (X,P(X),μ)(X, \mathcal{P}(X), \mu) donde:

μ(A)=0∀A∈P(X)\begin{align*} \mu(A) = 0 \quad \forall A \in \mathcal{P}(X) \end{align*}

✏️Ejemplo. Medida de conteo

Sea (N,P(N),m)(\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), m) donde mm es la medida de conteo, es decir:

m ⁣:P(N)⟶[0,∞]A⟼m(A):−{card A∈N si A es finito∞ si A es infinito\begin{align*} m \colon \mathcal{P}(\mathbb{N}) & \longrightarrow [0, \infty]\\ A &\longmapsto m(A) \coloneq \left\{ \begin{array}{ll} \text{card } A \in \mathbb{N} & \text{ si } A \text{ es finito}\\[2ex] \infty & \text{ si } A \text{ es infinito} \end{array} \right. \end{align*}

✏️Ejemplo. Medida inducida en por los naturales

Consideramos el espacio de medida (R,P(R),μ)(\mathbb{R}, \mathcal{P}(\mathbb{R}), \mu) donde:

μ(B):−m(B∩N)∀B⊆R\begin{align*} \mu(B) \coloneq m(B \cap \mathbb{N}) \quad \forall B \subseteq \mathbb{R} \end{align*}

✏️Ejemplo. Medida de Lebesgue en

Consideramos el espacio de medida (RN,MN,μN)(\mathbb{R}^N, \mathcal{M}_N, \mu_N), con τRN⊆MN\tau_{\mathbb{R^N}} \subseteq \mathcal{M}_N, donde:

μN:⟶[0,∞][a1,b1]×⋯×[aN,bN]⟼∏i=1N(bi−ai)=(b1−a1)(b2−a2)⋯(bN−aN)\begin{array}{rcl} \mu_N : & \longrightarrow & [0, \infty]\\[2ex] [a_1, b_1] \times \dots \times [a_N, b_N] & \longmapsto & \displaystyle \prod_{i = 1}^{N} (b_i - a_i) = (b_1 - a_1)(b_2 - a_2) \cdots (b_N - a_N) \end{array}

donde −∞<ai<bi<∞- \infty < a_i < b_i < \infty.

Subaditividad. Proposición

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) espacio de medida y {Ei}i∈N⊆Σ\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} \subseteq \Sigma entonces:

μ(⋃i∈NEi)≤∑i=1∞μ(Ei)\begin{align*} \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(E_i) \end{align*}

📐Demostración

Primero, transformaremos la sucesión de conjuntos {Ei}i∈N\{E_i\}_{i \in \mathbb{N}} no necesariamente disjuntos entre sí, en una sucesión de conjuntos disjuntos entre sí. Para ello, definimos la sucesión {Fi}i∈N\{F_i\}_{i \in \mathbb{N}} de la siguiente forma:

F1:−E1∈ΣF2:−E2∖E1∈ΣF3:−E3∖(E1∪E2)∈Σ⋮⋮Fn+1:−En+1∖(E1∪E2∪…∪En⏟∈Σ)∈Σ\begin{align*} F_1 & \coloneq E_1 \in \Sigma \\ F_2 & \coloneq E_2 \setminus E_1 \in \Sigma \\ F_3 & \coloneq E_3 \setminus (E_1 \cup E_2) \in \Sigma \\ \vdots & \vdots \\[2ex] F_{n + 1} & \coloneq E_{n + 1} \setminus (\underbrace{E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n}_{\in \Sigma}) \in \Sigma \end{align*}

De esta forma, obtenemos que los conjuntos FiF_i cumplen:

  • Medibilidad: Fn∈Σ∀n∈NF_n \in \Sigma \quad \forall n \in \mathbb{N} ya que se obtienen mediante operaciones de diferencia y unión numberable de conjuntos medibles.
  • Disjointitud: Si n>mn > m entonces Fn∩Fm=∅F_n \cap F_m = \emptyset ya que:
Fn⊆En pero Fn∩Ei=∅∀i<n\begin{align*} F_n \subseteq E_n \text{ pero } F_n \cap E_i = \emptyset \quad \forall i < n \end{align*}

Como m<nm < n entonces Fn∩Fm⊆Fn∩Em=∅F_n \cap F_m \subseteq F_n \cap E_m = \emptyset.

  • Equivalencia de uniones: Para cualquier n∈Nn \in \mathbb{N} se cumple que:
⋃i=1nFi=⋃i=1nEi\begin{align*} \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} F_i = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^{n} E_i \end{align*}

Para probar esta igualdad basta ver:

Ahora, aplicando la propiedad iii.b) de la definición de espacio de medida, como los conjuntos FiF_i son disjuntos entre sí, tenemos:

μ(⋃i=1∞Fi)=∑i=1∞μ(Fi)\begin{align*} \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} F_i\right) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(F_i) \end{align*}

Y además, para cada ii se tiene Fi⊆EiF_i \subseteq E_i, por lo que μ(Fi)≤μ(Ei)\mu(F_i) \leq \mu(E_i) entonces:

∑i=1∞μ(Fi)≤∑i=1∞μ(Ei)\begin{align*} \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(F_i) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(E_i) \end{align*}

Combinando ambas expresiones, tenemos que:

μ(⋃i=1∞Ei)=μ(⋃i=1∞Fi)=∑i=1∞μ(Fi)≤∑i=1∞μ(Ei)\begin{align*} \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} E_i\right) = \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i = 1}^{\infty} F_i\right) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(F_i) \leq \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(E_i) \end{align*}

Espacio de medida completo. Definición

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) se dice completo (ó Σ\Sigma es completo respecto de μ\mu) si se cumple que:

∀B∈Σ con μ(B)=0,∀A⊆B se tiene que A∈Σ(y por tanto μ(A)=0)\begin{align*} \forall B \in \Sigma \text{ con } \mu(B) = 0, \quad \forall A \subseteq B \text{ se tiene que } A \in \Sigma \quad (\text{y por tanto } \mu(A) = 0)\\ \end{align*}

Proposición

Sea (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) un espacio de medida cualquiera, existe una σ\sigma-álgebra Σ~⊇Σ\widetilde{\Sigma} \supseteq \Sigma y una medida μ~:Σ~→[0,∞]\widetilde{\mu} : \widetilde{\Sigma} \to [0, \infty] tal que μ~∣Σ=μ\widetilde{\mu}_{|_{\Sigma}} = \mu y tal que (X,Σ~,μ~)(X, \widetilde{\Sigma}, \widetilde{\mu}) es espacio de medida completo.

Además, si (X,Ω,ν)(X, \Omega, \nu) es espacio de medida completo con Σ⊆Ω\Sigma \subseteq \Omega y ν∣Σ=μ\nu_{|_{\Sigma}} = \mu entonces Σ~⊆Ω\widetilde{\Sigma} \subseteq \Omega.

A (X,Σ~,μ~)(X, \widetilde{\Sigma}, \widetilde{\mu}) se le llama completación de (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu).

💡Observación

Lo que buscamos es que, dado un espacio de medida cualquiera (X,Σ,μ)(X, \Sigma, \mu) podamos ampliarlo a un espacio de medida completo (X,Σ~,μ~)(X, \widetilde{\Sigma}, \widetilde{\mu}), es decir, agregar todos los subconjuntos de conjuntos de medida nula a la σ\sigma-álgebra original Σ\Sigma y definir una medida μ~\widetilde{\mu} que coincida con μ\mu en los conjuntos de Σ\Sigma y que asigne medida nula a estos nuevos conjuntos añadidos.

📐Demostración

Para la demostración, vamos a realizar explícitamente la construcción de dicha completación. Para ello, primero definimos el conjunto de los conjunto de medida nula, es decir:

N:−{N⊆X ⁣:∃M∈Σ con μ(M)= 0 y N⊆M}\begin{align*} \mathcal{N} \coloneq \left\{N \subseteq X \colon \exists M \in \Sigma \text{ con } \mu(M) =\, 0 \text{ y } N \subseteq M\right\} \end{align*}

y a continuación definimos la σ\sigma-álgebra ampliada:

Σ~:−{A∪N:A∈Σ, N∈N}\begin{align*} \widetilde{\Sigma} \coloneq \left\{A \cup N : A \in \Sigma, \, N \in \mathcal{N}\right\} \end{align*}

💡Observación

Sea E=A∪N∈Σ~E = A \cup N \in \widetilde{\Sigma}, con A∈ΣA \in \Sigma y N∈NN \in \mathcal{N}, existen N1∈NN_1 \in \mathcal{N} y M1∈ΣM_1 \in \Sigma donde:

N1⊆M1,μ(M1)=0,A∩M1=∅\begin{align*} N_1 \subseteq M_1, \quad \mu(M_1) = 0, \quad A \cap M_1 = \emptyset \end{align*}

En efecto, tenemos que:

N∈N  ⟹  ∃M∈Σ con μ(M)=0 y N⊆M  ⟹    ⟹  E=A∪(N∖A) con N∖A⊆M∖A∹M1∈Σ\begin{align*} N \in \mathcal{N} & \implies \exists M \in \Sigma \text{ con } \mu(M) = 0 \text{ y } N \subseteq M \implies \\[2ex] & \implies E = A \cup (N \setminus A) \text{ con } N \setminus A \subseteq M \setminus A \eqcolon M_1 \in \Sigma \end{align*}

Y además, tenemos que:

μ(M1)≤μ(M)=0 y A∩M1=∅\begin{align*} \mu(M_1) \leq \mu(M) = 0 \quad \text{ y } A \cap M_1 = \emptyset \end{align*}

Veamos ahora que (X,Σ~,μ~)(X, \widetilde{\Sigma}, \widetilde{\mu}) es espacio de medida completo.

  • Ver si Σ~\widetilde{\Sigma} es σ\sigma-álgebra:

  • Cerrada bajo complementos: Sea E=A∪N∈Σ~E = A \cup N \in \widetilde{\Sigma} con A∈ΣA \in \Sigma y N∈NN \in \mathcal{N}. Entonces, existe M∈ΣM \in \Sigma con N⊆MN \subseteq M, M∩A=∅M \cap A = \emptyset y μ(M)=0\mu(M) = 0 por lo que:

Ec=(A⏟∈Σ∪M⏟∈Σ)c⏟∈Σ∪(M∖N)⏟∈N∈Σ~\begin{align*} E^c = \underbrace{(\underbrace{A}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{M}_{\in \Sigma})^c}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{(M \setminus N)}_{\in \mathcal{N}} \in \widetilde{\Sigma} \end{align*}

Esto es así ya que:

  • Como (A∪M)∈Σ(A \cup M) \in \Sigma y Σ\Sigma es σ\sigma-álgebra, entonces (A∪M)c∈Σ(A \cup M)^c \in \Sigma
  • Como M∖N⊆MM \setminus N \subseteq M y μ(M)=0\mu(M) = 0 entonces M∖N∈NM \setminus N \in \mathcal{N}

\item Definición de la medida μ~\widetilde{\mu} y ver que es medida: Podemos definir μ~\widetilde{\mu} como:

μ~:Σ~⟶[0,∞]E⟼μ~(E):−μ(A) donde E=A∪N con A∈Σ, N∈N\begin{align*} \widetilde{\mu} : \widetilde{\Sigma} & \longrightarrow [0, \infty]\\ E & \longmapsto \widetilde{\mu}(E) \coloneq \mu(A) \quad \text{ donde } E = A \cup N \text{ con } A \in \Sigma, \, N \in \mathcal{N} \end{align*}

Podemos ver que está bien definida ya que, sea E∈ΣE \in \Sigma y podemos considerar dos descomposiciones suyas:

E=A∪N    con A∈Σ, N∈N     ⟹  ∃M∈Σ  con {N⊆Mμ(M)=0E=A1∪N1 con A1∈Σ, N1∈N  ⟹  ∃M1∈Σ con {N1⊆M1μ(M1)=0\begin{align*} E & = A \cup N \quad \, \: \, \text{ con } A \in \Sigma, \, N \in \mathcal{N} \, \, \, \implies \exists M \in \Sigma \, \text{ con } \left\{ \begin{array}{l} N \subseteq M\\[1ex] \mu(M) = 0 \end{array} \right.\\[4ex] E & = A_1 \cup N_1 \quad \text{ con } A_1 \in \Sigma, \, N_1 \in \mathcal{N} \implies \exists M_1 \in \Sigma \text{ con } \left\{ \begin{array}{l} N_1 \subseteq M_1\\[1ex] \mu(M_1) = 0 \end{array} \right. \end{align*}

Y podemos ver que μ(A)=μ(A1)\mu(A) = \mu(A_1) ya que:

A⊆A1∪N1⊆A∪M1∈Σ  ⟹  μ(A)≤μ(A1∪M1)≤subaditividad≤μ(A1)+μ(M1)⏟=0=μ(A1)\begin{align*} A \subseteq A_1 \cup N_1 \subseteq A \cup M_1 \in \Sigma \implies \mu(A) & \leq \mu(A_1 \cup M_1) \overset{\text{\tiny subaditividad}}{\leq} \\[2ex] & \leq \mu(A_1) + \underbrace{\mu(M_1)}_{= 0} = \mu(A_1) \end{align*}

Y análogamente podemos ver que μ(A1)≤μ(A)\mu(A_1) \leq \mu(A).

Ahora, veamos que μ~\widetilde{\mu} es una medida:

  • La medida del conjunto vacío es cero:
μ~(∅)=μ(∅)=0\begin{align*} \widetilde{\mu}(\emptyset) = \mu(\emptyset) = 0 \end{align*}
  • Es aditiva numerable: Sea {Ei}i=1∞⊆Σ~\{E_i\}_{i = 1}^\infty \subseteq \widetilde{\Sigma} con Ei∩Ej=∅ si i≠jE_i \cap E_j = \emptyset \text{ si } i \neq j, cada EiE_i se puede escribir como:
Ei=Ai∪Ni con Ai∈Σ, Ni∈N\begin{align*} E_i = A_i \cup N_i \quad \text{ con } A_i \in \Sigma, \, N_i \in \mathcal{N} \end{align*}

Podemos notar que Ai∩Aj=∅A_i \cap A_j = \emptyset si i≠ji \neq j ya que si no fuera así, es decir, si ∃x∈Ai∩Aj\exists x \in A_i \cap A_j entonces x∈Ei∩Ejx \in E_i \cap E_j lo cual es una contradicción. Así:

μ~(⋃i∈NEi)=μ~([⋃i∈NAi]∪[⋃i∈NNi])\begin{align*} \widetilde{\mu} \left(\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} E_i\right) = \widetilde{\mu} \left(\left[\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i\right] \cup \left[\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}N_i \right]\right) \end{align*}

Ahora, como ⋃iNi∈N\bigcup_i N_i \in \mathcal{N} (se vio el razonamiento previamente en la demostración de que Σ~\widetilde{\Sigma} es cerrada bajo uniones numerables) y ⋃iAi∈Σ\bigcup_i A_i \in \Sigma (al ser Σ\Sigma una σ\sigma-álgebra), por la definición de μ~\widetilde{\mu} tenemos:

μ~([⋃i∈NAi]∪[⋃i∈NNi])=μ(⋃i∈NAi)=iii.b) esp.med.Ai∩Aj=∅∑i=1∞μ(Ai)=∑i=1∞μ~(Ei)\begin{align*} \widetilde{\mu} \left(\left[\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i\right] \cup \left[\displaystyle \bigcup_{i \in \mathbb{N}}N_i \right]\right) = \mu\left(\displaystyle \bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i\right) \xlongequal[\text{\tiny iii.b) esp.med.}]{A_i \cap A_j = \emptyset} \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty} \mu(A_i) = \displaystyle \sum_{i = 1}^{\infty}\widetilde{\mu}(E_i) \end{align*}
  • Extensión a μ\mu: es decir μ~∣Σ=μ\widetilde{\mu}_{|_\Sigma} = \mu. Si A∈ΣA \in \Sigma entonces:
A=A⏟∈Σ∪∅⏟∈N⇒def de μ~μ~(A)=μ(A)\begin{align*} A = \underbrace{A}_{\in \Sigma} \cup \underbrace{\emptyset }_{\in \mathcal{N}} \xRightarrow[\text{\tiny def de } \widetilde{\mu}]{} \widetilde{\mu}(A) = \mu(A) \end{align*}

\item Completitud de (X,Σ~,μ~)(X, \widetilde{\Sigma}, \widetilde{\mu}): Sea E⊆F∈Σ~E \subseteq F \in \widetilde{\Sigma} con μ~(F)=0\widetilde{\mu}(F) = 0 entonces:

F=A∪N con A∈Σ, N∈N y μ(A)=0  ⟹  ∃M∈Σ con {N⊆Mμ(M)=0\begin{align*} F = A \cup N \quad \text{ con } A \in \Sigma, \, N \in \mathcal{N} \text{ y } \mu(A) = 0 \implies \exists M \in \Sigma \text{ con } \left\{ \begin{array}{l} N \subseteq M\\ \mu(M) = 0 \end{array} \right. \end{align*}

Por lo tanto, E⊆A∪ME \subseteq A \cup M y μ(A∪M)=0\mu(A \cup M) = 0 así que E∈N⊆Σ~E \in \mathcal{N} \subseteq \widetilde{\Sigma}. Además:

E=∅∪E con ∅∈Σ, E∈N  ⟹  μ~(E)=0\begin{align*} E = \emptyset \cup E \quad \text{ con } \emptyset \in \Sigma, \, E \in \mathcal{N} \implies \widetilde{\mu}(E) = 0 \end{align*}

Minimalidad de la completación: Sea (X,Ω,ν)(X, \Omega, \nu) espacio de medida completo donde tenemos Σ⊆Ω\Sigma \subseteq \Omega y ν∣Σ=μ\nu_{|_\Sigma} = \mu, veamos que Σ~⊆Ω\widetilde{\Sigma} \subseteq \Omega. Sea E∈Σ~E \in \widetilde{\Sigma} entonces:

E=A∪N con {A∈Σ⊆ΩN∈N  ⟹  ∃M∈Σ con N⊆M, μ(M)=0\begin{align*} E = A \cup N \quad \text{ con } \left\{ \begin{array}{l} A \in \Sigma \subseteq \Omega\\[1ex] N \in \mathcal{N} \implies \exists M \in \Sigma \text{ con } N \subseteq M, \, \mu(M) = 0 \end{array} \right. \end{align*}

Como ν(M)=μ(M)=0\nu(M) = \mu(M) = 0 y ν\nu es completa entonces N∈ΩN \in \Omega luego:

E=A∪N∈Ω  ⟹  Σ~⊆Ω\begin{align*} E = A \cup N \in \Omega \implies \widetilde{\Sigma} \subseteq \Omega \end{align*}